курсова работа

[zozito13]

Зравейте всички,
Нова съм тук и се нуждая от помощ,защото с математиката съм като"ескимос в джунгла"

Благодаря предварително

[Davids]

Мога да помогна с матриците малко.

9.Зад.:
[tex]\Delta = \begin{array}{|rrrr|} 3&0&2&1\\ 2&1&0&3\\ 0&1&3&2\\ 1&2&0&3 \end{array}[/tex]

Развиваме детерминантата по трета колона:
[tex]\Delta = 2.(-1)^{1+3}\begin{array}{|rrr|} 2&1&3&\\ 0&1&2&\\ 1&2&3&\\ \end{array} + 3.(-1)^{3+3}\begin{array}{|rrr|} 3&0&1\\ 2&1&3\\ 1&2&3 \end{array} =[/tex]
[tex]= 2(2.1.3 + 1.2.1 + 0 - 3.1.1 - 2.2.2 - 0) + 3(3.1.3 + 0 + 1.2.2 - 1.1.1 - 3.3.2 - 0) = 2.(-3) + 3.(-6) = -24[/tex]
[tex]\Rightarrow г)[/tex]

10.Зад.:
[tex]A = \begin{array}{rrrr} 1&2&1&2\\ 0&1&0&1\\ 3&0&0&3\\ 1&2&0&1 \end{array}[/tex]
Намираме детерминантата като разложим по трета колона:
[tex]det A = 1.(-1)^{1+3}\begin{array}{|rrr|} 0&1&1\\ 3&0&3\\ 1&2&1 \end{array} = 6 \ne 0[/tex]
Следователно матрицата е обратима.
Аз лично ползвах метода на адюнгираните количества, тъй като съм далееч далеч още от практиката и задълбочената теория (10 клас ), та това ми се стори най-разбираемо от прочетеното в интернет, но предполагам би могла да си я обърнеш и чрез умножение и събиране на редове (както на много места е уточнено, че е по-лесно с по-големи матрици, но на мен ми липсва основна теория). Та, както и да е, обратната матрица е (ползвам права линия, тъй като чисто и просто не мога да намеря формата за скоби):
[tex]A^{-1} = \begin{array}{|rrrr|} 0&-6&\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\ 0&0&-\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\\ 1&-1&-\frac{1}{6}&-1\\ 0&1&\frac{1}{6}&-\frac{1}{2} \end{array}[/tex]
И лесно се вижда, че [tex]b_{32} + b_{43} = -1 + \frac{1}{6} = -\frac{5}{6}[/tex]

11. Зад.:

[tex]A = \begin{array}{|rr|} p&p+\frac{1}{2}\\ 1&0 \end{array} \cup B = \begin{array}{|rr|} 1&2\\ 2&0 \end{array}[/tex]
За да са комутативни матриците, ще искаме [tex]AB = BA[/tex].
Първо умножаваме [tex]AB = C = (c_{ij})[/tex], а после имаме [tex]BA = K = (k_{ij})[/tex]
Всъщност ни е достатъчно да получим първите стойности с еднакви координати от двете произведения и да ги приравним за параметъра. Ако умножаваме правилно, всички други елементи също трябва да са равни за тази стойност на параметъра. Та, в случая получаваме:
[tex]c_{11} = 1.p + 2(p + \frac{1}{2}) = 3p + 1[/tex]
А за [tex]k_{11} = 1.p + 2.1 = p + 2[/tex]

И сега остана да намерим за кое [tex]p[/tex]:
[tex]3p + 1 = p + 2[/tex]
[tex]\Rightarrow p = \frac{1}{2}[/tex]

И аз лично си довърших двете умножения по метода "ред по колона", матриците изглеждат така:
[tex]AB = C = \begin{array}{|rr|} 3p+1&2p\\ 1&2 \end{array}[/tex]

[tex]BA = K = \begin{array}{|rr|} p+2&2p\\ p+\frac{1}{2}&2p+1 \end{array}[/tex]

[Davids]

За шеста задача много ми помогна следният източник. Обобщено: формулата на права, допираща се до окръжност и преминаваща през [tex]т.T(x_0;y_0)[/tex], получаваме като поставим в система формулата на окръжността (до която ще се допира) и следното уравнение (правата ще кръстим [tex]t[/tex]):
[tex](x_0 - a)(x-a) + (y_0 - a)(y-a) = R^2[/tex], където [tex]x_0; y_0[/tex] са координатите на нашата външна точка, а [tex]a; b[/tex] са координатите на центъра на окръжността (намираме ги като представим формулата на окръжността във вида [tex](x-a)^2 + (y-a)^2 = R^2[/tex].

Та, започваме:
[tex]k \equiv x^2 + (y-4)^2 = R^2 \Leftrightarrow (x-0)^2 + (y-4)^2 = R^2[/tex]
Откъдето можем да изведем координатите на центъра на окръжността: [tex]т. O(0; 4)[/tex].
Тоест: [tex]a = 0; b = 4[/tex].

I Вариант:
Първата точка, през която ще минава нашата допирателна, е [tex]A(4; 1)[/tex], а втората - [tex]B(-2; -2)[/tex].
Следователно в система ще сложим:
[tex]\begin{array}{|l} x^2 + (y-4)^2 = R^2 \\ (4-0)(x-0) + (1-4)(y-4) = R^2 \\ (-2-0)(x-0) + (-2-4)(y-4) = R^2 \end{array}[/tex]

И като изразим [tex]x; y[/tex] чрез [tex]R[/tex] достигаме до [tex]R = \sqrt{20}[/tex]

II Вариант:
По дадените две точки [tex]A[/tex]и [tex]B[/tex] намираме функцията на нашата права:
[tex]f(x) = y = ax + b[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} -2 = -2a + b \\ 1 = 4a + b \end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow f(x) = y = \frac{x-2}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow t \equiv x - 2y - 2 = 0[/tex]

И използваме последните две уравнения от горната система (уравнения за формулата на допирателна към окръжност през точка) и понеже правата е една и съща през двете точки, просто ще ги приравним.
Получаваме системата:
[tex]\begin{array}{|l} 4x - 3y + 12 = -2x - 6y + 24 \\ x - 2y - 2 = 0 \end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0 \\ x - 2y - 2 = 0[/tex]
Решения са съответно [tex]x = 2; y = 0[/tex].
Заместваме във формулата за окръжността:
[tex]x^2 + (y-4)^2 = R^2 \Leftrightarrow 4 + (-4)^2 = R^2 \Rightarrow R = \sqrt{20}[/tex]

Надявам се да ме схвана, защото лично на мен ми отне време да си попрочета документацията из интернет, че да го схвана. Ама както каза - "ескимос в джунгла", само че интернет е компас

[Davids]

7. Зад.:
Имаме окръжност с формула [tex]k \equiv (x-1)^2 + y^2 = 4[/tex]
И искаме да знаем за кои стойности на [tex]a[/tex] може да се прекара допирателна към тази окръжност през [tex]т. A(0; a)[/tex].
Тук всъщност е лесно. Знаем, че от всяка външна за окръжността или лежаща на нея точка може да се прекара допирателна/и към тази окръжност. Следователно трябва само да разберем за кои стойности на [tex]a = y[/tex] точката е вътре в окръжността. Знаем, че [tex]x = 0[/tex], остава да заместим:
[tex](0-1)^2 + a^2 = 4 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt{3}[/tex]
Тоест [tex]т.A(0; \sqrt{3})[/tex] и [tex]т.B(0; -\sqrt{3})[/tex] са двете точки, в които окръжността пресича ординатната ос. Оттам вече лесно се вижда, че търсим [tex]\forall a \in (-\infty; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; +\infty)[/tex]. Отг. б)

[Davids]

8. Зад.:
Дадени са точките [tex]A(-1; -1)[/tex] и [tex]B(2; 2)[/tex].
Търсим за коя точка [tex]C[/tex] от окръжността [tex]k \equiv (x+1)^2 + (y + 1 - 4\sqrt{2})^2 = 2[/tex] лицето на [tex]\Delta ABC[/tex] е минимално.

Така, като за начало ще намерим формулата на правата [tex]AB[/tex], която ще кръстим [tex]t[/tex].
[tex]t: f(x) = ax + b[/tex]
От координатите на [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] веднага лесно се вижда, че функцията е [tex]f(x) = x[/tex].
Следователно знаем, че [tex]t \equiv f(x) = y = x[/tex].

Сега ще намерим координатите на центъра на окръжността. Ако приемем формулата на окръжността във вида:
[tex](x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2[/tex], то лесно можем да видим, че [tex]a = -1; b = 4\sqrt{2} - 1[/tex].
Следователно имаме център (ще го кръстим [tex]P[/tex]): [tex]P(-1; 4\sqrt{2} - 1)[/tex].

Сега знаем, че най-късото разстояние от точка до права е перпендикуляра. Следователно ще искаме да намерим перпендикуляра през центъра на окръжността до правата [tex]t[/tex], и като пресечем този перпендикуляр с окръжността всъщност ще намерим точката, от която височината към константната [tex]AB[/tex] ще е най-малка, с което и лицето ще е най-малко. Та, ако [tex]t[/tex] е линейната функция [tex]y = x[/tex], то функцията на правата, която сключва прав ъгъл с [tex]t[/tex], ще има общия вид [tex]g(x) = -x + p[/tex] (обратен коефициент пред [tex]x[/tex] и някакъв свободен член. Но знаем също, че тази функция минава през [tex]P(-1; 4\sqrt{2} - 1)[/tex]. Следователно знаем:
[tex]g(x) = y = -x + p \Leftrightarrow 4\sqrt{2} - 1 = -(-1) + p \Rightarrow p = 4\sqrt{2} - 2[/tex]
И вече знаем функцията [tex]g(x) = y = 4\sqrt{2} - x - 2[/tex]

Та това са двете перпендикулярни прави, като на чертежа. Сега остана само да намерим координатите на пресечната точка на [tex]g(x)[/tex] и [tex]k[/tex].
Системосваме :
[tex]\begin{array}{|l} g(x) \equiv y = 4\sqrt{2} - x - 2 \\ k \equiv (x+1)^2 + (y + 1 - 4\sqrt{2})^2 = 2 \end{array}[/tex]
Заместваме първото във второто и получаваме:
[tex](x+1)^2 + (4\sqrt{2} - x - 2 + 1 - 4\sqrt{2})^2 = 2[/tex]
[tex]...[/tex]
[tex]2(x+1)^2 = 2[/tex]
[tex](x+1)^2 = 1[/tex]
[tex]x_1 = 0; x_2 = -2[/tex]
Заместваме във формулата за [tex]g(x)[/tex]:
[tex]y_1 = 4\sqrt{2} - 2; y_2 = 4\sqrt{2}[/tex]
Нас съответно ни интересува точката, която пресича окръжността по-близо до [tex]AB[/tex], т.е. [tex]C(0; 4\sqrt{2} - 2)[/tex], което е отговор в)

[Davids]

12. Зад.:
⎞⎠
[tex]A = \begin{pmatrix} 2&2&5 \\ a&3&a^2 \\ 2&1&a \\ \end{pmatrix}[/tex]
Директно казано: за да имаме трети ранг възможен, трябва детерминантата на цялата матрица да не е отрицателна. Започваме (аз лично я карам по Сарус):
[tex]det A = \begin{array}{|rrrr|} 2&2&5\\ a&3&a^2\\ 2&1&a \end{array}\begin{array}{rr} 2&2 \\ a&3\\ 2&1 \end{array} =[/tex]
[tex]= 2.3.a + 2.a^2.2 + 5.a.1 - 5.3.2 - 2.a^2.1 - 2a.a = ... = 11a - 30[/tex]
Както казахме, искаме [tex]det A \ne 0 \Leftrightarrow 11a - 30 \ne 0 \Rightarrow a \ne \frac{30}{11}[/tex]

Сега трябва да проверим за кои стойности на [tex]a[/tex] имаме наличен втори ранг. Взимаме първите 2 реда и 2 стълба на матрицата и търсим детерминантата:
[tex]\Delta = \begin{array}{|rr|} 2&2\\ a&3 \end{array} = 2a - 2.3 \ne 0 \Leftrightarrow a\ne 3[/tex] (не е [tex]\frac{30}{11}[/tex], че да паднем до първи ранг при тази стойност )

Извод: При [tex]a = \frac{30}{11}, r = 2;[/tex] при [tex]a \ne \frac{30}{11}, r = 3[/tex].
И си направихме проверката за втория ранг.

Ако има грешки, се извинявам. Не съм навътре с теорията, така че може да изпускам нещо много фундаментално

[Davids]

13. Ще си позволя да направя следното заместване, защото ме мързи да слагам индекси постоянно
[tex]x_1 = x; x_2 = y[/tex]
Та сега системата изглежда така:
[tex]\begin{array}{|l} 4x + 3y = 6 \\ 2x + y = a+1 \\ ax - y = 11 \end{array}[/tex]
И искаме да има само едно решение. Ами моят подход е такъв: за да има само една двойка решения, то трябва да изразим двете променливи чрез параметъра и да докараме системата до квадратно уравнение за параметъра. Та, първо ще съберем второто и третото уравнение от което ще получим:
[tex](2+а)x = a+12 \Leftrightarrow x = \frac{a+12}{a+2}[/tex] (1)
Заместваме в първото уравнение:
[tex]\frac{4(a + 12)}{a+2} + 3a = 6[/tex]
[tex]...[/tex]
[tex]y = \frac{2(a - 18)}{3(a+2)}[/tex] (2)

A сега ще заместим [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] в третото уравнение, като достигаме до:
[tex]\frac{a(а+12)}{а+2} - \frac{2(a-18)}{3(а+2)} = 11[/tex]
[tex]...[/tex]
[tex]3a^2 + a - 30 = 0[/tex]
Като корени са [tex]a_1 = 3; a_2 = -\frac{10}{3}[/tex]
И това са търсените стойности на параметъра

[Davids]

14. Ще заменя [tex]\lambda[/tex] с [tex]a[/tex] и [tex]x_1 = x; x_2 = y[/tex] за улеснение.
Та системата е:
[tex]ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2[/tex]
При почленно изваждане на всеки две уравнения едно от друго и групиране достигаме до вида:
[tex]\begin{array}{|l} (x-y+1)(a-1) = 0 \\ (y-z+a)(a-1) = 0 \\ (x-z+a+1)(a-1) = 0 \end{array}[/tex]
Лесно се вижда, че за [tex]a = 1[/tex] уравненията са валидни за [tex]\forall(x; y; z)[/tex].
Така че разглеждаме случая [tex]a\ne 1[/tex] и системата придобива вида:
[tex]\begin{array}{|l} x - y + 1 = 0 \\ y - z + a = 0 \\ x - z + a + 1 = 0 \end{array}[/tex]
При тази система всяко едно уравнение може да бъде изведено като сбор/разлика от другите две, така че на практика се получава система от две уравнения с три неизвестни и параметър, за която можем само да кажем, че има наредена тройка решения със следния вид: [tex](x; y = x+1; z = x + a + 1)[/tex]

И няма такава стойност, за която системата да няма решение.

[Davids]

15. Матричното уравнение [tex]\begin{pmatrix} 2&0&1\\ 0&1&2\\ 3&3&4 \end{pmatrix}.X = \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4\\ 5&6 \end{pmatrix}[/tex] има общия вид [tex]A.X = B[/tex]. Следователно, за да намерим [tex]X[/tex], ни трябва матрицата [tex]X = B.A^{-1}[/tex]
Тоест, трябва да обърнем [tex]А[/tex]. Проверяваме детерминантата по метода на Сарус и получаваме [tex]det A = 2[/tex].
Аз лично си я обърнах пак по метода на адюнгираните количества, но има и по-лесни начини Също и онлайн можеш да я обърнеш (тук например). Та;
[tex]A^{-1} = \begin{pmatrix} -1&-2&1\\ 3&4&-2\\ -\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}&1 \end{pmatrix}[/tex]
И сега искаме да намерим елемента [tex]x_{32}[/tex] от матрицата [tex]\begin{pmatrix} -1&-2&1\\ 3&4&-2\\ -\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}&1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4\\ 5&6 \end{pmatrix}[/tex]
Който е равен на [tex]x_{32} = -\frac{3}{2}.2 - \frac{3}{2}.4 + 1.6 = -9 + 6 = -3[/tex]
И отговорът е б)

[Davids]

17. Зад:
[tex]z = 3(2x+y)[/tex]
[tex]z_{max} = ?[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 3y - 2x \le 9\\ y \ge x \\ x+y \ge 2\\ y + 5x \le 20 \\ x,y \ge 0\end{array}[/tex]
Ключови са:
[tex]\begin{array}{|l} 3y - 2x \le 9\\ y + 5x \le 20\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} max(3y-2x) = 9 \\ max(y+5x) = 20 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 3y - 2x = 9 \Leftrightarrow y = \frac{9 + 2x}{3} \\ \frac{9 + 2x}{3} + 5x = 20 \end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow 9 + 2x + 15x = 60[/tex]
[tex]17x = 51[/tex]
[tex]x_{max} = 3[/tex]
[tex]\Rightarrow y_{max} = \frac{9 + 2x}{3} = 5[/tex]
Проверяваме, че този оптимален случай удовлетворява всички останали условия, следователно остана да заместим:
[tex]z_{max} = 3(2x_{max} + y_{max}) = 3(2.3 + 5) = 33[/tex]
Отговор [tex]б)[/tex]