Задача 6 - параметрично

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден.

[Davids]

Уравнението се свежда до системата:
[tex]\begin{array}{|l} -6 < \frac{2x^2 + mx - 4}{x^2 - mx + 1} \\ \frac{2x^2 + mx - 4}{x^2 - mx + 1} < 4 \end{array}[/tex]
[tex]...[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} 8x^2 - 5mx + 2 > 0 \\ 2x^2 - 5mx + 8 > 0 \end{array}[/tex]
Понеже искаме да са валидни за всяко хикс, трябва и двете дискриминанти да са по-малки от нула. А в случая те са дори равни. Та:
[tex]D_1 = D_2 = (5m)^2 - 4.2.8 = m^2 - 8^2 < 0[/tex]
[tex](5m)^2 < 8^2[/tex]
[tex]|5m| < 8[/tex]
[tex]m \in (-\frac{8}{5}; \frac{8}{5})[/tex]
С което ти е изпълнено условието.

[emil3993]

D>=0 не за всяко х, а за реалните!

[Davids]

Така де, както гласи условието.

[emil3993]

добре де защо D <0 за да има реални числа трябва да е D>=0?

[Davids]

добре де защо D <0 за да има реални числа трябва да е D>=0?

Защото искаме двете парабули относно хикс да са винаги над нулата (положителни) - а това е така, когато дискриминантата е отрицателна.

[darinalazarova73]

Защо изпускаш знаменателя?
Той може да е положителен,НО може и да е отрицателен.
Извинете ме,ако греша.

[darinalazarova73]

Ако дискр.<0,то корените ще са комплексни числа.Виж стр.38 на четиризначната таблица.

[Davids]

Всъщност сте права... Не знам и аз защо забравих знаменателя...
Така де, всъщност в по-разширения си вид тези уравнения се свеждат до системата сечение от обединения на по две системи:
[tex]\begin{array}{|l} 8x^2 - 5mx + 2 > 0 \\ x^2 - mx + 1 > 0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} 8x^2 - 5mx + 2 < 0 \\ x^2 - mx + 1 < 0 \end{array}[/tex]
[tex]\cap[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} 2x^2 - 5mx + 8 > 0 \\ x^2 - mx + 1 > 0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} 2x^2 - 5mx + 8 < 0 \\ x^2 - mx + 1 < 0 \end{array}[/tex]

Търсим стойности на параметъра за да са в сила системите за [tex]\forall x[/tex]. Очевидно е, че десните страни на системите нямат такива стойности (парабола с положителен коефициент пред втората степен няма как да е само отрицателна). Остава сечението от левите страни, тоест системата:
[tex]\begin{array}{|l}8x^2 - 5mx + 2 > 0 \\ 2x^2 - 5mx + 8 > 0 \\ x^2 - mx + 1 > 0\end{array}[/tex]
Решението не първите две неравенства беше описано по-горе, остава да го пресечем с решението на третото. Както казахме, за да приема параболата само положителни стойности, трябва дискриминантата да е отрицателна. Та:
[tex]D = m^2 - 4 < 0[/tex]
[tex]|m| < 2[/tex]
[tex]m \in (-2; 2)[/tex]

И окончателният отговор е [tex]m \in (-\frac{8}{5}; \frac{8}{5}) \cap (-2; 2)[/tex] и всъщност първият интервал е във втория, следователно отговорът остава същия [tex]m \in (-\frac{8}{5}; \frac{8}{5})[/tex]

[darinalazarova73]

В последната ти система РОЛЯ на неизвестно трябва да играе м,а не Х.
Прочети условието внимателно.
Мисля,че получаваме ЛИНЕЙНИ неравенства.

[Davids]

В последната ти система РОЛЯ на неизвестно трябва да играе м,а не Х.
Прочети условието внимателно.
Мисля,че получаваме ЛИНЕЙНИ неравенства.

Да, роля играе [tex]m[/tex] като неизвестно. Само че става въпрос за дискриминантите на тези три включени в системата уравнения и това, че тези дискриминанти трябва да са отрицателни. Тъй като на първите две уравнения дискриминантите са равни и за да са отрицателни, трябва [tex]m \in (-\frac{8}{5}; \frac{8}{5})[/tex], то този интервал трябва да пресечем с решението за нулевата дискриминанта на третото. Това съм и направил.

[emil3993]

Благодаря.