Задача 10 - параметрично

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден.

[Davids]

[tex]2ax + 3\sqrt{3} + \frac{a-8}{8} = 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 16a\sqrt{x}^2 + 24\sqrt{x} + a - 8 = 0[/tex]
Полагаме [tex]y = \sqrt{x}[/tex] с очевидното условие, че ще искаме само положителни стойности на [tex]y[/tex].
Уравнението придобива вида:
[tex]16ay^2 + 24y + a - 8 = 0[/tex]
За да имаме точно два положителни корена [tex]x[/tex], то трябва да имаме само един положителен [tex]y[/tex] като решение на новополучилото се уравнение.
Тоест, ще искаме или двата игрека да имат противоположен знак, или да имаме само един игрек, който да е положителен. Първо ще разгледаме втория случай:
[tex]16ay^2 + 24y + a - 8 = 0[/tex]
[tex]D = 24^2 - 4.16a(a-8) = 64(9 - a^2 + 8a)[/tex]
За да намерим стойностите на [tex]a[/tex], за които имаме само един корен [tex]y[/tex], то трябва [tex]D = 0[/tex]. Решаваме:
[tex]a^2 - 8a - 9 = 0[/tex]
[tex]a_1 = 9; a_2 = -1[/tex]
Сега остава да проверим какви са знаците на игреците за тези стойности и съответно дали са решения:
За [tex]a = 9 \Rightarrow y_{1,2} = -\frac{24}{32a} = -\frac{24}{32.9} < 0 \Rightarrow[/tex] тази стойност на параметъра не ни върши работа.
За [tex]a = -1 \Rightarrow y_{1,2} = -\frac{24}{32.(-1)} > 0[/tex], следователно тази стойност ни устройва.

Разглеждаме второто условие: двата игрека да са с противоположни знаци. Включваме виет -> ще искаме произведението им да е с отрицателен знак. Тоест:
[tex]x_1x_2 < 0[/tex]
[tex]\frac{a-8}{16a} < 0[/tex]
А това е изпълнено в интервала [tex]a \in (0; 8)[/tex]
И окончателен отговор на задачата е [tex]a \in (0; 8) \cup{-1}[/tex]

[emil3993]

Благодаря.