Тригонометрично уравнение

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден.

[Nathi123]

Преобразуваме в еквивалентно на даденото уравнение [tex]2 + cos^{2}8x+cos^{2}2x- 2 cos8xcos2x=\sqrt{3}sinx+cosx |:2\Leftrightarrow[/tex]
[tex]1+(cos8x - cos2x)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cos\Leftrightarrow 1+(cos8x - cos2x)^{2}=sin(x + \frac{\pi}{6})=1 \Leftrightarrow
\begin{array}{|l} cos8x - cos2x=0 \\sin(x + \frac{\pi}{6})=1 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} sin3xsin5x=0 \\ x + \frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi , k\in Z\\ x\in [0,\frac{\pi}{2}] \end{array}\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}[/tex]

[emil3993]

Преобразуваме в еквивалентно на даденото уравнение [tex]2 + cos^{2}8x+cos^{2}2x- 2 cos8xcos2x=\sqrt{3}sinx+cosx |:2\Leftrightarrow[/tex]
[tex]1+(cos8x - cos2x)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cos\Leftrightarrow 1+(cos8x - cos2x)^{2}=sin(x + \frac{\pi}{6})=1 \Leftrightarrow
\begin{array}{|l} cos8x - cos2x=0 \\sin(x + \frac{\pi}{6})=1 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} sin3xsin5x=0 \\ x + \frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi , k\in Z\\ x\in [0,\frac{\pi}{2}] \end{array}\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}[/tex]

Да обобщя решава се с предположението, че x e в първи квадрант по условие, защото ако x=30, то cos8x-cos2x не е равно дори и при смяна, тъ като е под корен, то ние предполагаме, че е 0, за да решим уравнението, нали?

[emil3993]

?
cos8x-cos2x=0=?

[KOPMOPAH]

Кое точно не ти е ясно?

$\cos 8x - \cos 2x = -2\sin 5x\sin3x$ от тригонометричните зависимости.
В тази задача важният момент е, че лявата страна е по-голяма или равна на 1, а дясната - по-малка или равна на 1, следователно равенство може да има тогава и само тогава, когато разликата на косинусите е $0$,а синусът от дясната страна е равен на $1$. Това довежда до системата, която $Nathi123$ така добре (и така лаконично) е решил(а).

[kmitov]

А не е ли след деленето на 2 в ляво $1+\frac{(\cos 8x - \cos 2x)^2}{2}=....$? Не че ще се промени решението де.

[emil3993]

Благодаря.