Равнобедрен триъгълник

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден.

[Davids]

Двете медиани са равни и се разделят една друга на части, равни на [tex]2x[/tex] и [tex]x[/tex] (свойство на медицентъра). Следователно по питагорова теорема намираме, че половината от бедрото на триъгълника е равна на [tex]\sqrt{5}x[/tex], следователно цялото бедро е [tex]2\sqrt{5}x[/tex]. Сега ще намерим хикс чрез тригонометрия. Ако пресечната точка на медианите е G, то триъгълникът [tex]ABG[/tex] е равнобедрен и оттам имаме:
[tex]\frac{2x}{6} = sin45 = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]
Следователно бедрото на триъгълника е равно на: [tex]2\sqrt{5}x = 3\sqrt{10}[/tex]
А третата медиана всъщност е височината към основата, която намираме по питагорова теорема:
[tex]CH^2 + 3^2 = (3\sqrt{10})^2[/tex]
[tex]CH^2 = 81[/tex]
[tex]CH = 9cm[/tex]

[emil3993]

Може ли друго решение?

[Davids]

Може ли друго решение?

Всъщност да, в пъти по-лесно
Ако медицентъра означим с [tex]G[/tex], то [tex]\Delta ABG[/tex] ще е правоъгълен и равнобедрен. Тоест, [tex]\angle GAB = \angle GBA = 45^{\circ}[/tex]. Но знаем, че третата медиана е същевременно височина към основата. Ако я кръстим [tex]CH[/tex], то [tex]\Delta GHB[/tex] ще е правоъгълен и отново равнобедрен, тъй като [tex]\Delta GBH = 45^{\circ}[/tex]. Следователно [tex]GH = \frac{1}{3}CH = HB = \frac{1}{2}AB = 3 \Rightarrow CH = 3.3 = 9cm[/tex]

[emil3993]

Защо е правоъгълен и равнобедрен?

[Davids]

Защо е правоъгълен и равнобедрен?

Знаем, че медианите към бедрата на равнобедрен триъгълник са равни, следователно и 2/3 от тях също са равни помежду си и така AGB е също равнобедрен, но и правоъгълен (според дадвното). Оттам вече всичко трябва да е ясно...

[emil3993]

a1=AH, b1=HB
GH=hc^2=a1.b1=3.3=9
GH=3
CH=3x=3.3=9

[emil3993]

Благодаря.