Сфера вписана в прав кръгов конус

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението и чертеж? Благодаря предварително. Приятен ден.

[Davids]

Всъщност задачата се свежда до следното: имаме равнобедрен триъгълник, чието бедро е равно на образуващата, а основата му - на диаметъра на основата на конуса ([tex]d[/tex]). Съответно радиуса на описаната сфера се явява радиус на описаната окръжност, а ъгъла между бедрата е даденият ъгъл [tex]\gamma[/tex]. Сега не съм у нас и не мога да предоставя чертеж, но ще се опитам да го опиша максимално разбираемо, а ти ще си го начертаеш. Та, този равнобедрен триъгълник ще се казва [tex]ABC[/tex] и ще има център на описаната окръжност (т.е. център на сферата около конуса) точка О. Тъй като [tex]\gamma[/tex] е вписан ъгъл срещу дъгата [tex]AB[/tex], то [tex]\angle AOB = 2\gamma[/tex], тъй като е централен срещу същата дъга. Сега можем да намерим всичко по една косинусова теорема, за която първо ни е нужен косинуса на удвоената гама. А той е: [tex]cos2\gamma = 2cos^2\gamma - 1 = 2.\frac{16}{25} - 1 = \frac{7}{25}[/tex]
И сега косинусовата теорема:
[tex]d^2 = R^2 + R^2 - 2R.R.cos2\gamma = 450 - 450.\frac{7}{25} = 450 - 126 = 324 = 18^2[/tex]
[tex]\Rightarrow d = 18[/tex]
[tex]\Rightarrow R = 9cm[/tex]

[emil3993]

Може ли и чертеж?

[emil3993]

Нещо не се връзва? Ъгъл гама е тъп.

[Knowledge Greedy]

Аз бих намерил синуса, след, което - синусова теорема.
Явно [tex]sin \gamma =\frac{3}{5}[/tex] .

Конус с тъп ъгъл вписан в сфера2.png (6.11 KiB) Прегледано 860 пъти

По синусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex]
[tex]\frac{2r}{sin \gamma}=2R \,\ \Rightarrow \,\ r=15.\frac{3}{5}=9[/tex]

[emil3993]

Благодаря.