Прост правоъгълен триъгълник

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението ? Благодаря предварително. Приятен ден.

[Davids]

Имаш страната срещу ъгъл от 60 градуса в правоъгълен триъгълник означена с [tex]a[/tex]. Следователно по тригонометричен път намираш:
[tex]\frac{a}{b} = tg60^{\circ} = \sqrt{3} \Rightarrow b = \frac{\sqrt{3}a}{3}[/tex]
[tex]\frac{a}{c} = sin60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow c = \frac{2\sqrt{3}a}{3}[/tex]
Следователно периметърът на големия триъгълник е равен на [tex]P_{ABC} = a + \frac{\sqrt{3}a}{3} + \frac{2\sqrt{3}a}{3} = ... = a(1+\sqrt{3})[/tex]
Сега ще разгледаме въпросните точки и триъгълника [tex]MBN[/tex]. Казано ни е, че около четириъгълника [tex]ANMC[/tex] може да се опише окръжност, което ни дава свойството, че сборът на всеки два срещуположни ъгъла е равен на 180 градуса. Което веднага ни показва, че [tex]\angle MNA = 90^{\circ} = \angle MNB[/tex] и [tex]\angle BMN = 180 - \angle CMN = \angle CAB = 60^{\circ}[/tex]. А 30-градусовият ъгъл е очевидно общ, но все пак да изпиша това по-горе
Така де, схвана - двата триъгълника са подобни. И тъй като лицата им се отнасят както 4:1, то всички техни линейни елементи се отнасят както 2:1 (лицата на подобните триъгълници се отнасят както коефициента на подобие на квадрат!). Откъдето веднага знаем, че [tex]P_{BMN} = \frac{1}{2}P_{ABC} = \frac{a(1 + \sqrt{3})}{2}[/tex]

[emil3993]

Благодаря.