Грешка в отговори

[emil3993]

[tex]\frac{ax}{x-1}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x^2-1}[/tex]
Отговор:a=-1, a=1/2

[Davids]

[tex]\frac{ax}{x-1}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{x^2-1}[/tex]
Отговор:a=-1, a=1/2

Превеждаме под общ знаменател, с допустими стойности за [tex]x \ne \pm1[/tex]:
[tex]ax(x+1) + x(x-1) - 1 = 0[/tex]
[tex]ax^2 + ax + x^2 - x - 1 = 0[/tex]
[tex](a+1)x^2 + (a-1)x - 1 = 0[/tex]

И тук проверяваме, че за [tex]a = -1[/tex] коефициентът пред втората степен е нула и имаме единствено решение [tex]x = -\frac{1}{2}[/tex]
По-нататък вече получаваме дискриминантата:
[tex]D = (a-1)^2 - 4.(-1).(a+1) = ... = a^2 + 2a + 5 > 0[/tex] за [tex]\forall a[/tex]
Следователно за всяко [tex]a \ne -1[/tex] уравнението има два корена, равни съответно на [tex]x_{1,2} = \frac{-a + 1 \pm \sqrt{a^2 + 2a + 5}}{2(a+1)}[/tex]

Предполагам, че за да са само това дадените отговори, се иска да намериш за кои стойности на параметъра уравнението има единствено решение? Или?

[emil3993]

За кои стойности на параметъра уравнението има единствено решение?
a=1/2 откъде идва в решението

[Nathi123]

При ІІ. сл [tex]a\ne -1[/tex] решенията на дробното уравнение са решенията на системата:
[tex]\begin{array}{|l} x =\frac{1-a\pm\sqrt{a^{2}+2a+5}}{b}\\ x \ne \pm 1\end{array}[/tex] Т.е. ако единият от корените съвпада с 1 или -1 ,дробното уравнение ще има единствено решение. Ако на мястото на х в уравнението[tex](a + 1)x^{2} + x( a - 1) -1=0[/tex] заместим x с -1,се получава,че няма такива стойности на а,но ако заместим х с 1 получаваме,че при а = [tex]- \frac{1}{2}[/tex]единият от корените на кв. уравнение е = 1 [tex]\Rightarrow[/tex]дробното уравнение има единствено решение.

[darinalazarova73]

Мисля,че условието на зад. е:
При кои стойности на а уравнението има САМО отрицателни рационални корени?
Тогава отговорът ще е:а=-1,или а=1/2

[Knowledge Greedy]

Решение за XII клас.
Условието - за кои [tex]a[/tex] уравнението има единствен корен и отговорите си съответстват. Всичко е наред
Ето графиката на [tex]a[/tex] като функция на [tex]x[/tex].

Параметърът Функция.png (6.17 KiB) Прегледано 271 пъти

Поради съкращаването на [tex](x-1)[/tex] не се вижда точката на прекъсване [tex]x=1[/tex].
За нея стойността на функцията е [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Така правата [tex]y=a = \frac{1}{2}[/tex] има само една пресечна точка с графиката на [tex]y=\frac{-x^2+x+1}{x(x+1)}[/tex]
Другата стойност на [tex]a[/tex] е ясна, [tex]a=-1[/tex] - това е хоризонталната (зелена ) асимптота [tex]y=a=-1[/tex], която не се пресича с други точки, освен с тази, с [tex]x= \frac{1}{2}[/tex] - единствен корен.
____________
На чертежа ординатната ос е едната вертикална асимптота [tex]x=0[/tex], другата е в синьо [tex]x=1[/tex].

[emil3993]

Може ли сега като на човек, който има два часа седмично? Не, наистина не разбрах нищо. Простичко откъде дойде a=1/2 магически? Благодаря за разбирането.

[Davids]

Може ли сега като на човек, който има два часа седмично? Не, наистина не разбрах нищо. Простичко откъде дойде a=1/2 магически? Благодаря за разбирането.

Тройно озелененият отговор по-горе дава еднозначен достатъчно обоснован отговор
Просто проверяваш случаите, в които една от "забранените" стойности на хикс ([tex]x = \pm1[/tex]) е единият корен и проверяваш дали има втори. В единия случай няма такива стойности на а, а в другия случай получаваш стойност на [tex]a = -\frac{1}{2}[/tex], за която уравнението има и още един корен. И тъй като единият от двата корена се изключва от ДС, остава само вторият и той важи като единствено решение, с което условието е удовлетворено.

[emil3993]

Защо проверявам с "забранените" стойности на хикс като са забранени?

[Davids]

Защо проверявам с "забранените" стойности на хикс като са забранени?

Понеже квадратният тричлен има два корена, нали? И ако единият от тях е забранен, все пак е възможно да има втори, който да е валидно решение? Само че първо трябва да намериш стойността на параметъра, за която забраненият корен е корен, и след това да проверяваш за друг. Не знам как да го обобщя по-добре

[emil3993]

Пак не разбрах същността.

[emil3993]

Благодаря, разбрах го след като го прочетох десет пъти.

[Nathi123]

Първо искам да се извиня,че в решението ,което съм написала не съм видяла,че корените на полученото кв. уравнение не съм написала точно.
Трябва [tex]x = \frac{1-a\pm\sqrt{a^{2}+2a+5}}{2(a+1)}[/tex]. Още малко обяснения по изложеното решение. Уравнението дадено в задачата е дробно( съдържа х в знаменател) и параметрично . Затова трябва да се изключат тези стойности на х ( като възможни решения) от множ. на реалните числа,за които някой от знаменателите на участващите дроби е равен на нула. Така Д.С за дробното уравнение е [tex]x\ne \pm1[/tex]
За да решим дробното уравнение умножаваме двете страни на уравнението с най-малкия общ знаменател за участващите дроби. Получаваме линейно или квадратно ,или уравнение от по - висока степен. Тези уравнения имат за Д.С множеството на реалните числа,тъй като всички действия с неизвестното са събиране,изваждане,умножение,степенуване,които са дефинирани за всяка стойност на х.( Няма действие деление с израз съдържащ х). Значи така полученото уравнение не е еквивалентно на даденото . Какво означава това в конкретния случай? Означава,че всяко решение на дробното уравнение е решение на квадратното (линейното) ,но обратното не е вярно. Не можем да твърдим ,че всяко решение на квадратното е решение на дробното . ( Ако кв. уравн има решение х = 1 или х = -1 - те няма да са решения на дробното уравнение). Затова търсим има ли стойности на параметъра а ,за които някой от корените на кв. уравнение да е = 1 или -1. Да намерим такива стойности на а можем ,ако решим ирац. уравнения спрямо а: [tex]\frac{1-a\pm\sqrt{a^{2}+2a+5}}{2(a+1)}=1\cup \frac{1-a\pm\sqrt{a^{2}+2a+5}}{2(a+1)} =-1[/tex]Но това би отнело доста време и вероятността за грешки е голяма. По просто е да видим за кои стойности на а кв. уравнение ще има корен 1 или -1 ,като на мястото на х в кв. уравнение заместим с 1 ,след това с -1.

[emil3993]

Благодаря.