Интересна задачка

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятен ден.
Катетите на правоъгълен триъгълник сключват с равнина [tex]\alpha[/tex] ъгли с големина [tex]\beta[/tex] и [tex]\gamma[/tex], а хипотенузата му лежи в равнината [tex]\alpha[/tex] . Да се определи синусът на ъгъла [tex]\varphi[/tex], ([tex]\varphi\ne[/tex]90) между равнината [tex]\alpha[/tex] и равнината на триъгълника.
[tex]sin\varphi=\sqrt{sin^{2}\beta+sin^{2}\gamma}[/tex]
Защо ъгъл CC1M=90 градуса?

[Nathi123]

Нека [tex]CC_{1 }\bot\alpha ; C_{1 }\in \alpha[/tex] ; нека [tex]\angle CAC_{1 } = \beta ; \angle CBC_{1 } = \gamma ; \Delta CAC_{1 }\Rightarrow
\frac{CC_{1 }}{CA} = sin\beta ; \Delta CBC_{1 } \Rightarrow \frac{CC_{1 }}{CB}=sin\gamma[/tex]. Построяваме CH[tex]\bot AB \Rightarrow C_{1 }H\bot AB[/tex] ( т-ма за 3-те перпенд.) [tex]\Rightarrow \angle CHC_{1 } = \varphi ; \Delta CHC_{1 }\Rightarrow \frac{CC_{1 }}{CH} = sin\varphi[/tex]
[tex]\Rightarrow sin^{2}\varphi = \frac{CC_{1 }^{2}}{CH^{2}} ; sin^{2}\beta + sin^{2}\gamma =CC_{1 } ^{2}(\frac{1}{CA^{2}}+\frac{1}{CB^{2}})=\frac{CC_{1 }^{2}.AB^{2}}{CA^{2}CB^{2}} = \frac{CC_{1 }^{2}}{CH^{2}}[/tex] В горните преобразувания изп. Т на Питагор за триъг.АВС и [tex]2S_{ABC }=CH.AB=AC.BC[/tex]
[tex]\Rightarrow sin^{2}\varphi = sin^{2}\beta + sin^{2}\gamma\Rightarrow sin\varphi =\sqrt{sin^{2}\beta + sin^{2}\gamma}[/tex].

[emil3993]

Защо ъгъл CC1M=90 градуса?

[KOPMOPAH]

Тая задача не е ли тая задача viewtopic.php?f=85&t=18826 Нищо, че буквите са други ...

[emil3993]

Тази задача ме преследва!!!

[emil3993]

Защо CC1H e прав ъгъл?

[KOPMOPAH]

Защото по построение $CC_1$ е перпендикулярна на равнината $\alpha$, следователно е перпендикулярна на всяка права, лежаща в нея, каквато се явява даже и $C_1H$

[emil3993]

Зацепих в адски мъки още преди да го кажеш, но исках да съм сигурен. Благодаря.

[emil3993]

Защото по построение $CC_1$ е перпендикулярна на равнината $\alpha$, следователно е перпендикулярна на всяка права, лежаща в нея, каквато се явява даже и $C_1H$

Има ли перпендикулярни равнини и кои са те ако има?

[KOPMOPAH]

Равнината на триъгълника $\triangle CC_1H$ е перпендикулярна на $\alpha$.
Също така всяка друга равнина, съдържаща (минаваща през) $CC_1$

[emil3993]

Благодаря.