Трудна задача

[emil3993]

Здравейте математици! Весели празници и МНОГО ЗДРАВЕ! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятна ваканция.

[ammornil]

Предложение за чертеж

[darinalazarova73]

Не съм сигурна в решението,ако греша-коригирайте ме.
Нека МН е височ. на пирамидата АВСDМ,т.Н е вътрешна за квадрате АВСD.
От т.Н построяваме перпенд.към АВ,ВС,СD,AD,които ги пресичат съответно в т.N,T,K ,P .
Tогава ъгъл MNH=W;ъгъл MKH=4W;ъгъл MTH=ъгъл MPH=2W
нека АВ=а;ТН=РН=а/2
Разглеждаме тр-те NHM;KHM;THM;PHM
tgW=MH/NH;tgW=h/NH (1)
tg2W=MH/TH ;tg2W=(2h)/a (2)
tg4W=MH/KH ;tg4W=h/(a-NH) (3)
Ще ползваме tg2W=(2tgW)/(1-(tgW)*2) ,която дава връзка м-у (2)и(1);(3)и(2)
След опростяване получаваме 2 ур-я.
а.НN=HN*2-h*2 (4)
HN=(3(a)*2+4(h*2))/(4a) (5)
Ще изразим h чрез а.Получ. бикв.ур-е
16(h)*4-8(a)*2.h*2-3(a)*4=0
h=(a.корен кв.от 3)/2
Връщаме се към (2)-tg 2W=корен кв.от 3;2W=60 градуса
W=30 град.;4W=120 градуса

[emil3993]

Има ли друг начин?

[emil3993]

Благодаря.

[emil3993]

Не съм сигурна в решението,ако греша-коригирайте ме.
Нека МН е височ. на пирамидата АВСDМ,т.Н е вътрешна за квадрате АВСD.
От т.Н построяваме перпенд.към АВ,ВС,СD,AD,които ги пресичат съответно в т.N,T,K ,P .
Tогава ъгъл MNH=W;ъгъл MKH=4W;ъгъл MTH=ъгъл MPH=2W
нека АВ=а;ТН=РН=а/2
Разглеждаме тр-те NHM;KHM;THM;PHM
tgW=MH/NH;tgW=h/NH (1)
tg2W=MH/TH ;tg2W=(2h)/a (2)
tg4W=MH/KH ;tg4W=h/(a-NH) (3)
Ще ползваме tg2W=(2tgW)/(1-(tgW)*2) ,която дава връзка м-у (2)и(1);(3)и(2)
След опростяване получаваме 2 ур-я.
а.НN=HN*2-h*2 (4)
HN=(3(a)*2+4(h*2))/(4a) (5)
Ще изразим h чрез а.Получ. бикв.ур-е
16(h)*4-8(a)*2.h*2-3(a)*4=0
h=(a.корен кв.от 3)/2
Връщаме се към (2)-tg 2W=корен кв.от 3;2W=60 градуса
W=30 град.;4W=120 градуса

С какво опростяваме и може ли самото опростяване, за да се получат 4 и 5?

[Добромир Глухаров]

$tg(w)=\frac{h}{NH}$
$tg(2w)=\frac{2h}{a}$
$tg(4w)=\frac{h}{a-NH}$

$tg(2w)=\frac{2tg(w)}{1-tg^2(w)}\Rightarrow \frac{2h}{a}=\frac{2.\frac{h}{NH}}{1-\left(\frac{h}{NH}\right)^2}\Rightarrow\\\Rightarrow\frac{NH}{a}=\frac{1}{\frac{NH^2-h^2}{NH^2}}\Rightarrow a=\frac{NH^2-h^2}{NH}\Rightarrow a.NH=NH^2-h^2$

$tg(4w)=\frac{2tg(2w)}{1-tg^2(2w)}\Rightarrow \frac{h}{a-NH}=\frac{\frac{4h}{a}}{1-\frac{4h^2}{a^2}}\Rightarrow\\\Rightarrow\frac{a}{a-NH}=\frac{4}{\frac{a^2-4h^2}{a^2}}\Rightarrow \frac{a^2-4h^2}{a}=4(a-NH)\Rightarrow\\\Rightarrow NH=\frac{4a-\frac{a^2-4h^2}{a}}{4}=\frac{4a^2-a^2+4h^2}{4a}=\frac{3a^2+4h^2}{4a}$

[emil3993]

$tg(w)=\frac{h}{NH}$
$tg(2w)=\frac{2h}{a}$
$tg(4w)=\frac{h}{a-NH}$

$tg(2w)=\frac{2tg(w)}{1-tg^2(w)}\Rightarrow \frac{2h}{a}=\frac{2.\frac{h}{NH}}{1-\left(\frac{h}{NH}\right)^2}\Rightarrow\\\Rightarrow\frac{NH}{a}=\frac{1}{\frac{NH^2-h^2}{NH^2}}\Rightarrow a=\frac{NH^2-h^2}{NH}\Rightarrow a.NH=NH^2-h^2$

$tg(4w)=\frac{2tg(2w)}{1-tg^2(2w)}\Rightarrow \frac{h}{a-NH}=\frac{\frac{4h}{a}}{1-\frac{4h^2}{a^2}}\Rightarrow\\\Rightarrow\frac{a}{a-NH}=\frac{4}{\frac{a^2-4h^2}{a^2}}\Rightarrow \frac{a^2-4h^2}{a}=4(a-NH)\Rightarrow\\\Rightarrow NH=\frac{4a-\frac{a^2-4h^2}{a}}{4}=\frac{4a^2-a^2+4h^2}{4a}=\frac{3a^2+4h^2}{4a}$

Благодаря.