Трудна задача

[emil3993]

Здравейте математици! Весели празници и МНОГО ЗДРАВЕ! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятна ваканция.

[Davids]

Стандартни означения, като пирамидата ще е $ABCD$. Еднаквите страни ще са ни $ACD$ и $BCD$.
Двете стени сключват помежду си ъгъл $60^{\circ}$, но това е ъгъла на триъгълника в основата (т.е. $\angle ACB = 60^{\circ}$). Основата се получава равнобедрен триъгълни с шейсетградусов ъгъл, следователно е равностранен. Отам следва, че и третата стена е еднакъв с другите два равнобедрен правоъгълен триъгълник с хипотенуза $a$. Взимаме точка $M$ среда на $AB$. Тогава $DM$ е апотема на стената и е равна на $\frac{a}{2}$. Тъй като основата е равностранен триъгълник и всички стени са еднакви, то върхът на пирамидата се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност (който в случая е и център на вписаната). Ще го означим с точка $O$. То тогава $OM = r$ на вписаната в основата окръжност.
За обема на пирамидата ни трябват височината и лицето на основата й.
Лицето на равностранен триъгълник ще ползвам наготово, изкараването е лесно: $B = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
От него обаче можем да намерим и дължината на радиуса на вписаната окръжност:
$B = pr = \frac{3}{2}r = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Rightarrow r = \frac{\sqrt{3}a}{6}$
Височината на пирамидата можем да намерим от правоъгълния $\Delta MOD$ по питагорова теорема:
$DM^2 = r^2 + h^2$
$\frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{36} + h^2$
$\Rightarrow h = \frac{a}{\sqrt{6}}$
И намираме обема:
$V = \frac{B.h}{3} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a}{\sqrt{6}}}{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{3.4.\sqrt{6}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{24}cm^3$

[KOPMOPAH]

В рамките на горните разсъждения, като получим, че основата на пирамидата е равностранен триъгълник със страна $a$ и околен ръб $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, можем да я "търкулнем", така че едната й околна стена да стане основа, а околният й ръб - височина. Тогава без много сметки се получава, че обемът й е $V=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{3}=\frac{a^3 \sqrt{2}}{24}$

[Davids]

Чудно чудо! Не се бях сетил
Весели празници на всички!