Медицентърът на равнобедрен триъгълник

[emil3993]

Здравейте математици! Весели празници и МНОГО ЗДРАВЕ! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятна ваканция.

[Davids]

Означаваме медицентъра с $G$, лежи на вписаната окръжност. Височината ще е $CH$, а центърът на вписаната окръжност - $O$.
Тогава знаем, че $OH = OG = r$, но и също $CG = 2GH = 4r$, тогава $CO = 5r$. Построяваме радиуса към допирната точка към $AC$, да кажем $OP$. Тогава от правоъгълния $\Delta OPC \Rightarrow sin\frac{\gamma}{2} = \frac{OP}{CO} = \frac{r}{5r} = \frac{1}{5}$
Само че същият синус можем да ползваме и в $\Delta CAH$, откъдето $\frac{AH}{AC} = sin\frac{\gamma}{2} = \frac{1}{5} \Rightarrow AC = 5cm$
И обиколката е $P = 2.5 + 2 = 12cm$

[darinalazarova73]

Предлагам още едно решение.
Ще ползвам точките-О,G,H,които е описал Davids.
Щом ОG=OH=r,то CG=4r и СН=6r .
(Pr)/2=S(ABC)=(АВ.СН)/2
където Р е периметъра на тр-к АВС
( Р.r)/2=(AB.CH)/2 /.2
Р.r=2.6r /:r
Р=12см.

[emil3993]

Благодаря и на двамата.