Хибридна задача

[emil3993]

Здравейте математици! Весели празници и МНОГО ЗДРАВЕ! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятна ваканция.

[Davids]

Не мога да предоставя чертеж в момента, но ще го карам максимално описателно.
$\Delta ABC$ е равностранен, тоест ъглите му са по $60^{\circ}$. От успоредността на правите $NP||BC \cup NQ||AC$ следва, че $\angle APC = \angle ACB = \angle NQB = 60^{\circ}$, откъдето и триъгълниците $\Delta APN$ и $\Delta NQB$ са равностранни.
Означаваме $AN = x$, а $NB = 11 - x$. Обаче $PN = AN = x$ и $NQ = NB = 11-x$. И понеже $PNQC$ е успоредник, то $\angle PNQ = \angle PCQ = 60^{\circ}$.
Знаем и лицето $S_{PNQ} = 7\sqrt{3}$
Изразяваме го по формулата за две страни и синуса на ъгъла между тях:
$S_{PNQ} = \frac{PN.QN.sin\Delta PNQ}{2} = \frac{x(11-x).\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = 7\sqrt{3}$
Опростяваме и достигаме до квадратно у-е:
$x^2 - 11x + 28 = 0$
$x_1 = 4; x_2 = 7$
Няма значение коя част как ще означим.
Взимаме примерно $PN = x = 7$ и $NQ = 11 - x = 4$
$PQ$ ще намерим по косинусова теорема:
$PQ^2 = 4^2 + 7^2 - 2.4.7.cos60^{\circ} = 65 - 2.4.7.\frac{1}{2} = 65 - 28 = 37$
$\Rightarrow PQ = \sqrt{37}cm$

[emil3993]

$\angle APN = \angle ACB = \angle NQB = 60^{\circ}$ - съответни
(не е $\angle APC$)

[emil3993]

Благодаря.