За пръв път разностранен триъгълник :D

[emil3993]

Здравейте математици! Весели празници и МНОГО ЗДРАВЕ! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятна ваканция.

[KOPMOPAH]

Ако означим $AC$ с $x$, то $BC$ ще бъде $2x$ според свойството на ъглополовящата да дели страната на отсечки, пропорционални на страните. Изразяваме лицето $S$ чрез страната $AB=6$ и височината към нея, а после - по Херонова формула.
$\frac{6\sqrt{15}}{2}=\sqrt{\frac{3x+6}{2}(\frac{3x+6}{2}-x)(\frac{3x+6}{2}-2x)(\frac{3x+6}{2}-6)}$
$3\sqrt{15}=\sqrt{\frac{3x+6}{2}\frac{x+6}{2}\frac{6-x}{2}\frac{3x-6}{2}}$
След повдигане на двете страни на втора степен и преобразуване се получава биквадратното уравнение
$x^4-40x^2+384=0$, чиито корени са $x_{1,2,3,4}=\pm \sqrt{\frac{40 \pm \sqrt{40^2-4.384}}{2}}=$, положителните му корени са $4$ и $\sqrt {24}$ и за да са цели числа страните, окончателно получаваме $AC=4$, $BC=8$

[emil3993]

Ако означим $AC$ с $x$, то $BC$ ще бъде $2x$ според свойството на ъглополовящата да дели страната на отсечки, пропорционални на страните. Изразяваме лицето $S$ чрез страната $AB=6$ и височината към нея, а после - по Херонова формула.
$\frac{6\sqrt{15}}{2}=\sqrt{\frac{3x+6}{2}(\frac{3x+6}{2}-x)(\frac{3x+6}{2}-2x)(\frac{3x+6}{2}-6)}$
$3\sqrt{15}=\sqrt{\frac{3x+6}{2}\frac{x+6}{2}\frac{6-x}{2}\frac{3x-6}{2}}$
След повдигане на двете страни на втора степен и преобразуване се получава биквадратното уравнение
$x^4-40x^2+384=0$, чиито корени са $x_{1,2,3,4}=\pm \sqrt{\frac{40 \pm \sqrt{40^2-4.384}}{2}}=$, положителните му корени са $4$ и $\sqrt {24}$ и за да са цели числа страните, окончателно получаваме $AC=4$, $BC=8$

Благодаря.