Трудна задача

[emil3993]

Здравейте математици! Весели празници и МНОГО ЗДРАВЕ! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятна ваканция.

[Nathi123]

Нека [tex]MM_{1 }\bot (ABC)\Rightarrow \angle MBM_{1 } = \angle MAM_{1 }=\varphi \Rightarrow MB=MA = x ( \Delta MBM_{1 } \cong \Delta MAM_{1 })[/tex]
[tex]CH\bot AB\Rightarrow AH = HB = \frac{a}{2}\Rightarrow MH\bot AB\Rightarrow \angle CHM=\alpha; M_{1 }\in CH .[/tex] Нека MH=y [tex]MM_{1 }=z.
\Delta MBM_{1 }\Rightarrow \frac{z}{x}=sin\varphi\Rightarrow z= xsin\varphi ;\Delta MM_{1 }H\Rightarrow \frac{z}{y}=sin\alpha\Rightarrow z=ysin\alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow xsin\varphi = ysin\alpha\Rightarrow x=\frac{ysin\alpha}{sin\varphi} ; \Delta MHB[/tex] и Т на Питагор
[tex]\Rightarrow x^{2}=y^{2}+\frac{a^{2}}{4}\Rightarrow y^{2}\frac{sin^{2}\alpha}{sin^{2}\varphi} = y^{2}+\frac{a^{2}}{4}\Leftrightarrow y^{2}=\frac{a^{2}sin^{2}\varphi}{4(sin^{2}\alpha-sin^{2}\varphi)}\Rightarrow y=\frac{asin\varphi}{2\sqrt{sin^{2}\alpha-sin^{2}\varphi}}[/tex]
[tex]\Rightarrow z=\frac{asin\alpha sin\varphi}{2\sqrt{sin^{2}\alpha-sin^{2}\varphi}}[/tex].

[KOPMOPAH]

Решението на колегата Nathi123 е абсолютно правилно.

Бих попитал единствено съставителите на задачата (ако имаше как) - защо основата е равностранен триъгълник, след като решението е вярно за всяка пирамида с основа равнобедрен триъгълник при зададените условия. Не е коректно да се дават излишни условия, които не влияят върху решението.

[KOPMOPAH]

И ВЕСЕЛИ ПРАЗНИЦИ НА ВСИЧКИ

[emil3993]

Нека [tex]MM_{1 }\bot (ABC)\Rightarrow \angle MBM_{1 } = \angle MAM_{1 }=\varphi \Rightarrow MB=MA = x ( \Delta MBM_{1 } \cong \Delta MAM_{1 })[/tex]
[tex]CH\bot AB\Rightarrow AH = HB = \frac{a}{2}\Rightarrow MH\bot AB\Rightarrow \angle CHM=\alpha; M_{1 }\in CH .[/tex] Нека MH=y [tex]MM_{1 }=z.
\Delta MBM_{1 }\Rightarrow \frac{z}{x}=sin\varphi\Rightarrow z= xsin\varphi ;\Delta MM_{1 }H\Rightarrow \frac{z}{y}=sin\alpha\Rightarrow z=ysin\alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow xsin\varphi = ysin\alpha\Rightarrow x=\frac{ysin\alpha}{sin\varphi} ; \Delta MHB[/tex] и Т на Питагор
[tex]\Rightarrow x^{2}=y^{2}+\frac{a^{2}}{4}\Rightarrow y^{2}\frac{sin^{2}\alpha}{sin^{2}\varphi} = y^{2}+\frac{a^{2}}{4}\Leftrightarrow y^{2}=\frac{a^{2}sin^{2}\varphi}{4(sin^{2}\alpha-sin^{2}\varphi)}\Rightarrow y=\frac{asin\varphi}{2\sqrt{sin^{2}\alpha-sin^{2}\varphi}}[/tex]
[tex]\Rightarrow z=\frac{asin\alpha sin\varphi}{2\sqrt{sin^{2}\alpha-sin^{2}\varphi}}[/tex].

Може ли чертеж?

[Добромир Глухаров]

Трудна задача.png (18.68 KiB) Прегледано 183 пъти

[emil3993]

Благодаря. Това е хубава задача.