Дължина на отсечка на правоъгълен трапец

[emil3993]

Здравейте математици! ЗДРАВА НОВА ГОДИНА! Може ли решението? Благодаря предварително.

[Davids]

chertej.png (18.58 KiB) Прегледано 185 пъти

Карам по чертежа. Изцяло само и единствено питагорови теореми, най-дървения и бабешки начин (със сигурност има и друг, вероятно някой ще го качи след мен), но това поне е с минимални знания
От $\Delta MCD \Rightarrow a^2 = 9 + (x-y)^2$
От $\Delta MBA \Rightarrow a^2 = 16 + y^2$
От $\Delta MCB \Rightarrow CB = \sqrt{2}a$
А от $\Delta CHB \Rightarrow 2a^2 = 1 + x^2$

Можем да съставим системата:
$\begin{array}{|l} 2a^2 = x^2 + 1 \\ a^2 = 16 + y^2 = 9 + x^2 - 2xy + y^2 \end{array}$
Тоест: $a^2 = \frac{x^2 + 1}{2} = 16 + y^2 = 9 + x^2 - 2xy + y^2$
От последната част на равенството можем да изведем: $y = \frac{x^2 - 7}{2x}$
И заместваме в първото:
$x^2 + 1 = 32 + 2(\frac{x^2 - 7}{2x})^2$
$...$
$x^4 - 48x^2 - 49 = 0$
Полагаме $t = x^2 > 0$
Решения са $t_1 = -1$, което не е корен, и $t_2 = 49$, откъдето $x = 7cm$
Сега остава да помисля за правилния начин

[KOPMOPAH]

Може и така:
Отбелязваме $\measuredangle MCD$ с $\alpha$. Триъгълникът $ \triangle BMC$ е равнобедрен и правоъгълен, следователно $\measuredangle MBC=45^\circ$, $\measuredangle MCB=45^\circ$. За триъгълник $AMB$ $\measuredangle ABM=180^\circ-45^\circ - (45^\circ+\alpha)=90^\circ-\alpha$, $\measuredangle BMA=\alpha$. По втори признак $\triangle ABM \cong \triangle MCD$ $\Rightarrow$ съответните им страни са равни $AB=MD$, $AM=CD$, а оттам $AM+MD=3+4=7$

[emil3993]

Може и така:
Отбелязваме $\measuredangle MCD$ с $\alpha$. Триъгълникът $ \triangle BMC$ е равнобедрен и правоъгълен, следователно $\measuredangle MBC=45^\circ$, $\measuredangle MCB=45^\circ$. За триъгълник $AMB$ $\measuredangle ABM=180^\circ-45^\circ - (45^\circ+\alpha)=90^\circ-\alpha$, $\measuredangle BMA=\alpha$. По втори признак $\triangle ABM \cong \triangle MCD$ $\Rightarrow$ съответните им страни са равни $AB=MD$, $AM=CD$, а оттам $AM+MD=3+4=7$

Благодаря.