Задача за налучкване2

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли задачата да се реши лесно без налучкване и как? Благодаря предварително.
$\sqrt{8x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{7x+4}+\sqrt{2x-2}$

[mail_dinko]

[tex]\sqrt{8x+1}+\sqrt{3x-5}=\sqrt{7x+4}+\sqrt{2x-2}[/tex]
Определяме ДМ:
\begin{array}{|l} 8x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge - \frac18 \\ 3x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac53 \\ 7x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge - \frac 47 \\ 2x-2 \ge 0 |:2 \Leftrightarrow x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 \end{array}
Като подредим на числова ос, се получава [tex]\fbox {x \ge \frac 53 }[/tex]
Повдигаме всяка от двете страни на втора степен
[tex](\sqrt{8x+1}+\sqrt{3x-5})^2=(\sqrt{7x+4}+\sqrt{2x-2})^2[/tex]
Предполагам, че може и да има по-лесен начин

[emil3993]

По лесно е да налучка, ако са дадени отговорите.

[kmitov]

Ето така е по-лесно:
$$\left(\sqrt{8x+1}-\sqrt{2x-2}\right)^2=\left(\sqrt{7x+4}-\sqrt{3x-5}\right)^2$$

Получават се $x_1=3$ и $x_2=-1,2$, от които с проверка се вижда, че само 3 е корен.

[Davids]

Двукратно повдигане на втора степен ме отвежда мен до:
$11x^2 - 31x - 6 + 2x\sqrt{24x^2 - 37x - 5} = 6\sqrt{14x^2 - 6x - 8}$
На което $x = 3$ също все още е решение, както и на началното. Следователно дотук би следвало да не съм допускал грешки, само че още два пъти повдигане на втора се сещаш до како ще доведат... Извънземни изчисления
При мен лично след първо повдигане на втора:
$121x^4 - 682x^3 + 829x^2 + 372x + 36 = 36(14x^2 - 6x - 8) - 24x\sqrt{336x^4 - 662x^3 - 40x^2 + 326x + 40} + 4x^2(24x^2 - 37x - 5)$
Което да повдигнеш още един път вече е абсолютен садизъм
Би трябвало да има и друг начин, ако наистина идеята на задачата не е да се налучка.
Но единият корен е 3

[kmitov]

Ми има друг начин прочети го по-горе, колега.

[Knowledge Greedy]

Налучкването по принцип е част от единствения познат на човечеството метод за открития - методът на пробите и грешките.
Все пак наименованието "решаване с налучкване " ми звучи грозно. Затова предпочитам да го назовавам "Метод с изброяване на краен брой достоверни възможности."
В конкретната ситуация реагирах като колегата Митов. Но след като той ме изпревари, завих към... налучкването.
Сравнявайки производните [tex]L'[/tex] и [tex]R'[/tex] на лявата
[tex]L=\sqrt{8x+1}-\sqrt{2x-2}[/tex] и дясната страна [tex]R=\sqrt{7x+4}-\sqrt{3x-5}[/tex],
си дадох сметка, че лявата страна e е сравнително по-бързо растяща. Ето защо, ако за някое [tex]x[/tex] се получи [tex]L=R[/tex], в последствие това едва ли ще се повтори.
Пробите започват естествено с [tex]x=2[/tex] - от интервала [tex]\left [\frac{5}{3};+\infty \right )[/tex]. А късметът се усмихна още при [tex]x=3[/tex].

[emil3993]

Благодаря.