Най-малката стойност на тригонометричната функция

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.

[Davids]

Аз лично, чисто и просот бих съобразил, че при $x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow cosx = 0$ (което е най-ниската възможна стойност за косинус на втора) и $sinx = 1$ (което е най-високата възможна стойност за синус, а той е с отрицателен знак, така че постигаме най-редуцирана стойност на цялата функция). И така получаваме $f_{min}(x) = f(\frac{\pi}{2}) = 0 - 1 + 1 = 0$

[Knowledge Greedy]

Решението на Davids е най-добрата реакция в тестова обстановка

[Knowledge Greedy]

А ето и реакцията на "старата школа":
[tex]f(x)=cos^2x-sinx+1[/tex]
Преобразуваме
[tex]f(x)=1-sin^2x-sinx+1[/tex]
равносилно на
[tex]f(x)=-sin^2x-sinx+2[/tex]
[tex]f(x)=-\left ( sinx+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{9}{4}[/tex]
В интервала
[tex]0\le x\le \frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]\frac{1}{2}\le sinx+\frac{1}{2}\le sin \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\left ( \frac{1}{2} \right )^2\le \left ( sinx+\frac{1}{2} \right )^2\le \left ( \frac{3}{2} \right )^2[/tex]
Умножаваме по [tex](-1)[/tex]
[tex]- \frac{1}{4}\ge - \left ( sinx+\frac{1}{2} \right )^2\ge -\frac{9}{4}[/tex]
Добавяме[tex]\frac{9}{4}[/tex]

[tex]- \frac{1}{4}+ \frac{9}{4} \ge - \left ( sinx+\frac{1}{2} \right )^2+ \frac{9}{4}\ge -\frac{9}{4}+ \frac{9}{4}[/tex]
Получихме
[tex]2\ge f(x)\ge 0[/tex]
Тези две неравенства означават, че за [tex]0\le x\le \frac{\pi}{2}[/tex] най-голямата стойност на [tex]f(x)[/tex] е [tex]2[/tex], а най-малката стойност на [tex]f(x)[/tex] е [tex]0[/tex].
_________________
Много техника, много мощ - много излишна работа

[Davids]

Knowledge Greedy, обичам решенията ти!
Не спирай да си активен, имаме нужда от теб тук

[emil3993]

Благодаря.