В правоъгълен трапец с остър ъгъл 60

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.
В правоъгълен трапец с остър ъгъл 60 е вписана окръжност с радиус r . Да се намери лицето на трапеца.

[Davids]

Не мога да предоставя чертеж сега точно, ще трябва да чертаеш паралелно
Иначе стандартни означения. Понеже е правоъгълен трапецът, то бедрото $AD = h = 2r$.
Спускаме височината $CH = 2r$. Получаваме правоъгълен триъгълник с ъгли 30 и 60 градуса. От $\Delta BCH$ имаме:
$cos60 = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2r}{BC} \Rightarrow BC = \frac{4\sqrt{3}}{3}r$
Намираме също и $BH = \frac{2\sqrt{3}}{3}r$
Означавайки страната $DC = AH = a$, ползваме свойството на трапец с вписана окръжност, според което:
$AD + BC = DC + AB$
$2r + \frac{4\sqrt{3}}{3}r = 2a + \frac{2\sqrt{3}}{3}r$
$...$
$a = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}r$
После имаме $AB = a + BH = a + \frac{2\sqrt{3}}{3}r = \frac{3 + 3\sqrt{3}}{3}r$
Лицето вече е:
$S = \frac{DC + AB}{2}.2r = (a + AB)r = (\frac{3 + \sqrt{3}}{3}r + \frac{3 + 3\sqrt{3}}{3}r)r = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3}}{3}r^2 = \frac{6 + 4\sqrt{3}}{3}r^2 = \frac{2(3 + 2\sqrt{3})}{3}r^2cm^2$

[emil3993]

sin60 и че стараната няма мярка са грешките

[emil3993]

Благодаря.