Тригонометрично уравнение

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.

[Davids]

$sin4x = sin2x$
$2sin2xcos2x = sin2x$
Първи вариант решение имаме при $sin2x = 0$
Тоест $2sinxcox = 0$
Тоест $sinx = 0$ или $cosx = 0$, откъдето $x = k\pi$ или $x = (\frac{1}{2} + k)\pi$
Вече имаме решенията $x = \pi, 2\pi$ и $x = \frac{3}{2}\pi$.
Продължаваме и делим на $sin2x \ne 0$:
$2cos2x = 1$
$cos2x = \frac{1}{2}$
Оттам $sin2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$sinxcosx = \frac{\sqrt{3}}{4}$
Системосваме, или изразяваме чрез косинуса:
$cos^2x = \frac{3}{16sin^2x} = 1 - sin^2x$
Получаваме от дясната страна биквадратно неравенство:
$16sin^4x - 16sin^2x + 3 - 0$
Полагаме $t = sin^2x > 0$, тъй като случаят да е равно на нула вече го изключихме.
Решения са $t_1 = \frac{1}{4}; t_2 = \frac{3}{4}$
Откъдето: $sinx = \pm \frac{1}{2}; \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
И дотук се предавам, някой да довършва. Синус и косинус трябва да са с еднакъв знак, това ще кажа

[Nathi123]

sin4x=sin2x[tex]\Leftrightarrow[/tex] sin4x-sin2x=0[tex]\Leftrightarrow 2sinxcos3x=0\Leftrightarrow sinx=0\cup cos3x =0\Leftrightarrow x=k\pi\cup 3x=\frac{(2k+1)\pi}{2} \Rightarrow x=\frac{(2k+1)\pi}{6} , k\in Z[/tex]
[tex]\Rightarrow x=\pi \cup x=2\pi \cup x=\frac{7\pi}{6}\cup x=\frac{3\pi}{2}\cup x=\frac{11\pi}{6}[/tex] са от посочения интервал.

[emil3993]

Благодаря.