Ъгъл MAN в квадрат

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.

[Davids]

Има няколко начина да се реши задачата. Най-достъпни бих казал са чрез питагорови теореми (изразяване на АМ, АN, MN) и косинусова теорема.
Другият начин е тригонометричният. Ще подходя така:
Означаваме $BN = x; CN = 2x$, тогава цялата страна на квадрата $а = 3x$, а $DM = CM = \frac{3}{2}x$.
Чрез питагорови теореми изразяваме:
$AM = \sqrt{(3x)^2 + (\frac{3}{2}x)^2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}x$
$AN = \sqrt{(3x)^2 + x^2} = \sqrt{10}x$
Означаваме $\angle DAM = \alpha$ и $\angle NAB = \beta$
Сега от правоъгълните триъгълници $\Delta AMD$ и $\Delta ANB$ лесно нагледно изразяваме:
$sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}; cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$
$sin\beta = \frac{1}{\sqrt{10}}; cos\beta = \frac{3}{\sqrt{10}}$
Оттам имаме: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha.cos\beta + sin\beta.cos\alpha = \frac{3}{5\sqrt{2}} + \frac{2}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Тоест $\alpha + \beta = 45^{\circ}$, откъдето за $\angle MAN = 90 - 45 = 45^{\circ}$

[Knowledge Greedy]

Ето и още едно решение с повечко геометрия.
Построяваме допълнително точка [tex]P[/tex] върху продължението на [tex]CD[/tex], като [tex]D[/tex] е между [tex]P[/tex] и [tex]C[/tex], а [tex]DP=BN[/tex].

Допълнително простроение.png (4.41 KiB) Прегледано 154 пъти

На чертежа за страна на квадрата и за удобство е избрано [tex]6x[/tex], при което са съобразени данните в условието.
Дотук [tex]\Delta ADP\cong \Delta ABN[/tex] - по първи признак за еднаквост на триъгълници.
От еднаквостта следва, че [tex]AP=AN[/tex].
Целта ни ще бъде да докажем, че [tex]\Delta ANM[/tex] и [tex]\Delta APM[/tex] са еднакви помежду си [tex]^{(\ast)}[/tex].

Лицето на риъгълник AMN.png (4.72 KiB) Прегледано 154 пъти

Определяме лицето на [tex]\Delta ANM[/tex] - като извадим от лицето на квадрата [tex]36x^2[/tex] лицата [tex]6x^2[/tex], [tex]6x^2[/tex] и [tex]9x^2[/tex] на трите правоъгълни триъгълника, оцветени в зелено.
Така [tex]S_{\Delta ANM}=15x^2[/tex] - точно толкова, колкото и [tex]S_{\Delta APM}[/tex].
Двата триъгълника имат обща страна [tex]AM[/tex], следователно и височините им [tex]NQ_1[/tex] и [tex]PQ_2[/tex] към тази страна са равни.

Защо петите Q1 и Q2 съвпадат.png (5.24 KiB) Прегледано 154 пъти

Правоъгълните триъгълници [tex]\Delta ANQ_1[/tex] и [tex]\Delta APQ_2[/tex] са еднакви по признака за еднаквост на правоъгълни триъгълници и по тази причина точките [tex]Q_1[/tex] и [tex]Q_2[/tex] съвпадат - защото [tex]AQ_1=AQ_2[/tex]. Но по-важното следствие е, че [tex]\angle PAQ_2=\angle NAQ_1[/tex].
И тъй като сборът на тези ъгли е [tex]90^\circ[/tex] ( Ако има съмнение, ще обясним ), следва, че мярката на [tex]\angle MAN=45^\circ[/tex].
____________
[tex]^{(\ast)}[/tex] Така и не изпълнихме тази цел. Оказа се достатъчно, че [tex]\Delta ANQ_1\cong\Delta APQ_2[/tex]
____________
Решението беше за тези, които не са свикнали да прилагат теоремата на Питагор.

[emil3993]

Има няколко начина да се реши задачата. Най-достъпни бих казал са чрез питагорови теореми (изразяване на АМ, АN, MN) и косинусова теорема.
Другият начин е тригонометричният. Ще подходя така:
Означаваме $BN = x; CN = 2x$, тогава цялата страна на квадрата $а = 3x$, а $DM = CM = \frac{3}{2}x$.
Чрез питагорови теореми изразяваме:
$AM = \sqrt{(3x)^2 + (\frac{3}{2}x)^2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}x$
$AN = \sqrt{(3x)^2 + x^2} = \sqrt{10}x$
Означаваме $\angle DAM = \alpha$ и $\angle NAB = \beta$
Сега от правоъгълните триъгълници $\Delta AMD$ и $\Delta ANB$ лесно нагледно изразяваме:
$sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}; cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$
$sin\beta = \frac{1}{\sqrt{10}}; cos\beta = \frac{3}{\sqrt{10}}$
Оттам имаме: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha.cos\beta + sin\beta.cos\alpha = \frac{3}{5\sqrt{2}} + \frac{2}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Тоест $\alpha + \beta = 45^{\circ}$, откъдето за $\angle MAN = 90 - 45 = 45^{\circ}$

Благодаря Davids.