Сфера е вписана в прав кръгов цилиндър

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.

[Nathi123]

Да означим радиуса на вписаната сфера с r, а височината ( образуваща) на цилиндъра с H.Сферата се допира до двете основи на цилиндъра [tex]\Rightarrow H=2r.[/tex] . Сферата се допира до всяка образуваща на цилиндъра [tex]\Rightarrow[/tex] радиуса на основата на цилиндъра е равен на радиуса на сферата =r. ( Центърът на сферата е средата на отсечката съединяваща центровете на двете основи на цилиндъра. Ако построим равнина през център на сферата и успоредна на основите на цилиндъра,тя пресича сферата в окръжност еднаква с окръжностите на основите на цилиндъра.)
[tex]S_{сф }=4\pi r^{2}; S_{цил }=2 \pi r .2r + 2\pi r^{2}=6 \pi r^{2}\Rightarrow \frac{ S_{сф }}{S_{цил }}=\frac{4\pi r^{2}}{6 \pi r^{2}} = \frac{2}{3}[/tex].

[emil3993]

Може ли чертеж?

[Nathi123]

Sfera - vp..doc

Sfera vp.

(28.5 KiB) 144 пъти

[KOPMOPAH]

Хубаво е да се знае, че Архимед първи е доказал, че обемите на конус и сфера, вписани в цилиндър, и обемът на самия цилиндър се отнасят както $1:2:3$.
За най-добро свое постижение той е считал изчисляването на повърхнината и обема на сфера - задача, която никой преди него не е успял да реши.
Той е пожелал на надгробния му камък да има изображение на сфера, вписана в цилиндър.