Трудна задача със сечение

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.
През основен ръб на правилна триъгълна призма е прекарано сечение, което е триъгълник с периметър два пъти по-голям от този на основата. Да се определи косинусът на ъгъла α, който сключват равнината на сечението и основата на призмата.
[tex]cosα=\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]

[kmitov]

Като си съчиниш тъпата задача с пирамидата тогава питай пак!

[Knowledge Greedy]

Ето сечението.

Триъгълно сечение през основен ръб.png (5.41 KiB) Прегледано 279 пъти

Зависимостта между височината на сечението и височината на основата е [tex]AK=A_1Kcos\varphi[/tex], където [tex]a[/tex] е големината на основния ръб, а височината на основата [tex]AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex].
Следователно [tex]A_1K=\frac{a\sqrt{3}}{2cos\varphi}[/tex]
С питагорова теорема откриваме двете равни страни на сечението [tex]A_1K^2+\left ( \frac{a}{2} \right )^2=A_1B^2[/tex]
[tex]A_1B=\sqrt{\left (\frac{a\sqrt{3}}{2coos\varphi} \right )^2+\left ( \frac{a}{2} \right )^2}[/tex]
Изравняваме периметрите
[tex]P_{\Delta BCA_1}=2P_{\Delta BCA}[/tex]

[tex]\cancel{2}\frac{a}{\cancel{2}}\left ( \sqrt{\frac{3}{cos^2\varphi}+1}+1 \right )=2.3a[/tex]
съкращаваме и [tex]a[/tex], получаваме
[tex]\sqrt {\frac{3}{cos^2\varphi}}+1=6[/tex]
и оттук - понеже [tex]\varphi[/tex] е остър ъгъл,
[tex]cos\varphi =\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]

[loving_math]

Нека правилната триъгълна пирамида е [tex]ABCA_{1}B_{1}C_{1}[/tex]
Тогава въпросното сечение е [tex]ABP[/tex], къдете точката [tex]P \in CC_{1}[/tex]
Триъгълниците [tex]ACP, BCP[/tex] са еднакви [tex]\Rightarrow AP=BP[/tex]
Нека [tex]P_{ABC}=3x \Rightarrow AB=BC=CA=x \Rightarrow P_{ABP}=6x[/tex]
[tex]AP=BP=\frac{6x-x}{2}=\frac{5x}{2}[/tex]
[tex]\Delta ACP: x^2+CP^2 = (\frac{5x}{2})^2 \Rightarrow CP=\frac{\sqrt{21}}{2}[/tex]
[tex]PC \bot (ABC) \Rightarrow PC\bot CH,[/tex] където H е петата на височината [tex]CH[/tex] към АВ в триъгълника [tex]АВС[/tex].
[tex]PH \equiv m \equiv h \equiv l[/tex] в [tex]\Delta ABP[/tex]
[tex](\frac{x}{2})^2 +PH^2=(\frac{5x}{2})^2 \Rightarrow PH=x\sqrt{6}[/tex]
[tex]sin \angle PHC=\frac{PC}{PH}=\frac{\sqrt{21}}{2\sqrt{6}}[/tex]
[tex]cos^2 \angle PHC =1-sin^2 \angle PHC[/tex]
[tex]cos \angle PHC= \frac{1}{8}[/tex]
[tex]cos \angle PHC =\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex]