Тригонометрично уравнение

[emil3993]

Здравейте математици! Весели празници и МНОГО ЗДРАВЕ! Може ли решението? Благодаря предварително. Приятна ваканция.
$cos^{8}x+sin^{8}x=cos^{2}2x$

[Davids]

Представяме двете страни по следните начини.
Лявата: $cos^8x + sin^8x = cos^8x + 2sin^4x.cos^4x + sin^8x - 2sin^4x.cos^4x = (sin^4x + cos^4x)^2 - 2sin^4x.cos^4x$
Дясната: $cos^22x = (cos^2x - sin^2x)^2 = sin^4x + cos^4x - 2sin^2x.cos^2x$

Уравнението придобива вида:
$(sin^4x + cos^4x)^2 - 2sin^4x.cos^4x = (sin^4x + cos^4x) - 2sin^2x.cos^2x$

Сега представяме ограденият на две места в скоби израз:
$sin^4x + cos^4x = (sin^2x + cos^2x)^2 - 2sin^2x.cos^2x = 1 - 2sin^2x.cos^2x$

Заместваме в уравнението:
$(1 - 2sin^2x.cos^2x)^2 - 2sin^4x.cos^4x = (1 - 2sin^2x.cos^2x) - 2sin^2x.cos^2x$
$\cancel{1 - 4sin^2x.cos^2x} + 4sin^4x.cos^4x - 2sin^4x.cos^4x = \cancel{1 - 4sin^2x.cos^2x}$
Получавайки финално:
$2sin^4x.cos^4x = 0$
Откъдето логиката ми казва, че трябва или синусът, или косинусът да е нула
Следователно (не съм много сигурен) записът на решението би трябвало да излгежда така:
$x = (\frac{1}{2} + k)\pi$ (когато косинусът е нула)
Или $x = k\pi$ (когато синусът е нула)
Общо взето като ги обединим, получаваме $x = \frac{k}{2}\pi$, където $k \in Z$.

[emil3993]

Благодаря.