Логаритмично уравнение

[hvyhg]

[tex]log_{2 }[/tex]x = [tex]log_{1/3 }[/tex](x-1) + 3

[Добромир Глухаров]

$log_2x=log_{\frac{1}{3}}(x-1)+3\ (*)$

$log_2x+log_3(x-1)=3$

Разглеждаме функцията $f(x)=log_2x+log_3(x-1);\ x\in(1;+\infty)$

$2>1;\ 3>1\Rightarrow f(x)$ - растяща

$\Rightarrow (*)$ има най-много един корен.

Опитваме последователно $x=2;\ x=3...$

$f(2)=1+0=2<3;\ f(3)=log_23+log_32<log_24+log_33=2+1=3\Rightarrow x=2;\ x=3$ не са решения.

$f(4)=log_24+log_33=3\Rightarrow\fbox{x=4}$ е единственото решение.