Трудна задача - правоъгълен триъгълник

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.
В правоъгълен неравнобедрен триъгълник е вписана окръжност. През допирните точки на окръжността са построени прави, успоредни на хипотенузата. Отсечките, които катетите отсичат от тези прави, имат дължини 15 и 20. Намерете хипотенузата.

[Davids]

Chertej.png (30.11 KiB) Прегледано 190 пъти

Означил съм частите на чертежа.
От питагорова теорема ще означим:
$CF^2 = 15^2 + r^2 \Rightarrow CF = \sqrt{15^2 - r^2}$
Сега от очевидното подобие на $\Delta EFC \approx \Delta GHC$, имаме:
$\frac{\sqrt{15^2 - r^2}}{r} = \frac{3}{4}$
Вдигаме на втора, умножаваме на кръст, решаваме и стигаме до $r = 12$
Следователно $CF = \frac{3}{4}.r = 9$
Използваме подобието $\Delta EFC \approx \Delta ABC$, откъдето:
$\frac{9}{a+12} = \frac{12}{b+12} = \frac{15}{a+b}$
От първата част на подобието изкарваме $a = \frac{3b - 12}{4}$
Заместваме във втората и получаваме $b = 36$, откъдето също $a = 24$.
Така за хипотенузата имаме окончателно $c = a + b = 60cm$

[ins-]

Задачата би могла да се реши и като се разгледат вписаните в триъгълниците CEF и CGH окръжности / така е решена в сборника на К. Коларов /.

Скрит текст: покажи

Предлагана е на Общински кръг на НОМ през 1996 г. и е една от задачите, които ме провокираха да измисля тази задача: http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/ ... ngle.shtml

[Davids]

Задачата би могла да се реши и като се разгледат вписаните в триъгълниците CEF и CGH окръжности / така е решена в сборника на К. Коларов /.

По-рационалното решение е това
Но на мен това ми хрумна...

[ins-]

По-рационалното решение е това
Но на мен това ми хрумна...

Когато бях в 9-ти клас и аз я реших по сходен начин.