Трудна задача - правоъгълен триъгълник2

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.
Катетите на правоъгълен триъгълник са равни на 9 и 12. Намерете разстоянието от медицентъра до центъра на вписаната окръжност.

[Davids]

$1 cm$. Цялото решение сега нямам време да го разпиша, но работим предимно с метрични зависимости.
Центърът е 0, медицентърът е G.
Намираш хипотенуза, пускаш медиана, пускаш една ъглополовяща през центъра на вписаната, намираш радиуса към хипотенузата ($r = 3cm$) примерно ON, намираш височината към хипотенузата ($h = \frac{36}{5}$), пускаш си един перпендикуляр от медицентъра към хипотенузата (който е една трета от тази височина, следователно $\frac{12}{5})$. Оттам вече имаш едната страна на малкото правоъгълно триъгълниче $GPO$ примерно, където P ти лежи на ОN и е пета на перпендикуляра към нея от медицентъра. Тази страна е $OP = 3 - \frac{12}{5} = \frac{3}{5}$
След това намираш едната проекция на 9-сантиметровия катет, че е $ \frac{27}{5}$, ползваш после долу пак отношението 1:3 от височините от медицентъра, както и ще включиш равните допирателни от вписаната окръжност, за да си раздробиш хипотенузата на малките частици. Окончателно целим да намерим другата малка част - останалия катет от малкото правоъгълно триъгълниче, който катет всъщност излиза $\frac GP = \frac{4}{5}$. И така за $GO = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} = 1 cm$
Нещо ме навежда на мисълта, че може и да излезем от материала за 9. клас и да се реши по-лесно

[emil3993]

Има ли по-лесен начин?

[darinalazarova73]

Нека окр. допира ВС в т.М,а АС в т.Е.
ОМСЕ е правоъг.,в който СЕ=СМ(допирателни)[tex]\Rightarrow[/tex]
ОМСЕ е квадрат т.е.ОМС е равноб. правоъг. тр-к с катет=r=3.
[tex]OC^{2}[/tex]=[tex]3^{2}[/tex]+[tex]3^{2}[/tex] ;OC=3[tex]\sqrt{2}[/tex](1)
AB=15,медианата към хипотен.=[tex]\frac{15}{2}[/tex],тогава CG=[tex]\frac{2}{3}[/tex].[tex]\frac{15}{2}[/tex]
CG=5 (2)
[tex]\angle[/tex]BCG=[tex]\beta[/tex],a[tex]\angle[/tex]BCO=45,тогава[tex]\angle[/tex]ОCG=[tex]\beta[/tex]-45 (3)
sin [tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex],cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{3}{5}[/tex] (4)
В тр-к GOC ще приложим cos теорема и ще ползваме (1),(2),(3),(4).
[tex]GO^{2}[/tex]=25+18-2.5.3[tex]\sqrt{2}[/tex]cos([tex]\beta[/tex]-45) ...
[tex]GO^{2}[/tex]=1
GO=1

[Knowledge Greedy]

Малка разлика в означенията:
[tex]I[/tex] - център на вписаната окръжност,
[tex]M[/tex]- медицентър,
[tex]O[/tex] - център на описаната окръжност,
[tex]C[/tex] - връх на правия ъгъл.

Разстояние между центъра на вписаната и медицентъра.png (2.57 KiB) Прегледано 829 пъти

Идеята на darinalazarova73 » Чет Фев 16, 2017 6:00 pm, само че с две косинусови теореми.

Също като всички останали, намираме хипотенузата [tex]2R=15[/tex], радиусите [tex]R=\frac{15}{2}[/tex] и [tex]r=3[/tex], и [tex]OI=\frac{3}{2}\sqrt{5}[/tex] по формулата на Ойлер [tex]OI^2=R^2-2Rr[/tex]
Първоначално откриваме [tex]Cos\angle ICO=\frac{7\sqrt{2}}{10}[/tex] с косинусова теорема за [tex]\Delta ICO[/tex]
След това прилагаме косинусова теорема за [tex]\Delta CIM[/tex]
[tex]MI^2=CI^2+CM^2-2.CI.CM.cos\angle ICM(O)[/tex]
Пресмятането
[tex]MI^2=(3\sqrt{2})^2+5^2-2.3\sqrt{2}.5.\frac{7\sqrt{2}}{10}[/tex]
дава точно [tex]MI=1[/tex]

[darinalazarova73]

Пропуснала съм да означа т.G-медицентър.Идеята ми е да работим
ТОЧНО в тр-к GOC(според моите означения).
Моля,пишете къде греша.

[Knowledge Greedy]

Нямате грешка. Аз следвам същата идея - работим в [tex]\Delta CIM[/tex] (във Вашето решение [tex]\Delta GOC[/tex]).
Но докато Вие се съсредоточавате в изчисляването на ъгъла [tex]\beta - 45^\circ[/tex] с формулата за косинус на разлика, в моето решение това е направено с друга косинусова теорема - за [tex]\Delta ICO[/tex].

[darinalazarova73]

Благодаря за подробния отговор .

[ptj]

Moже да се реши с координати.
Нека [tex]A(0;0), B(9;0), C(0;12)[/tex]. Записване векторното равенство за медицентъра в координати [tex]M(\frac{0+9+0}{3};\frac{0+0+12}{3})[/tex], т.е. [tex]M(3;4)[/tex]. Центъра на вписаната окръжност [tex]I[/tex] е на равни разстояния от [tex]AB,AC[/tex] (координатните оси), сл. [tex]x_I=y_I[/tex]. Лицето на триъгълника е [tex]S=\frac{9.12}{2}=54[/tex]. Друга формула за лице [tex]S=\frac{p.r}{2}\Leftrightarrow 54=\frac{(9+12+15)r}{2}[/tex], сл.[tex]x_I=r=3[/tex].
Последно намираме дължината ( питагорова теорема) [tex]MI=\sqrt{(3-3)^2+(3-4)^2}=1[/tex]

[emil3993]

Благодаря.