Правоъгълен триъгълник1

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.

[Davids]

Chertej1.png (22.47 KiB) Прегледано 131 пъти

Както знаем, радиус на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност е равен на половината от хипотенузата му, което е и дължината на медианата към хипотенузата. Означаваме $AO = BO = CO = 4$. Само че в и без това равнобедрения $\Delta OBC$ $BK$ се явява и ъглополовяща, и височина (към едното бедро), следователно триъгълникът е равностранен и $\angle COB = 60^{\circ}$. Оттам $\angle COA = 120^{\circ}$.
Отделно $BK$ разполовява $CO$ и $KO = 2$.
Вече по косинусова теорема намираме:
$AK^2 = 4^2 + 2^2 - 2.2.4.cos120$
$AK^2 = 16 + 4 + 4.4.\frac{1}{2} = 28$
$\Rightarrow AK = 2\sqrt{7}$

[emil3993]

Благодаря и браво, в тази задача стана дума за съседни ъгли и теореми за равностранен триъгълник!