Правоъгълен триъгълник2

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.

[Davids]

Означаваме всяка от трите равни части с $2x$. Сега спускаме медианата към хипотенузата от правия ъгъл, която ще е равна на $3x$.
Правим формула за медиана по три страни в триъгълника $\Delta MNC$:
$9x^2 = \frac{1}{4}(2.40 + 2.25 - 4x^2)$
$...$
$x = \frac{\sqrt{13}}{2}$
Оттам всяка от трите части е равна на по $\sqrt{13}cm$.
Сега означаваме стандартно ъгъл $\alpha$ и катета $b$ и след това правим система от косинусови теореми за $\Delta AMC$ и $\Delta ANC$:
[tex]\begin{array}{|l} 40 = 13 + b^2 - 2\sqrt{13}bcos\alpha \\ 25 = 4.13 + b^2 - 4\sqrt{13}bcos\alpha \end{array}[/tex]
Изваждаме долното от горното, получавайки:
$15 = -39 + 2\sqrt{13}bcos\alpha$
$bcos\alpha = \frac{27}{\sqrt{13}}$
Представяйки $cos\alpha = \frac{b}{c} = \frac{b}{3\sqrt{13}}$
Получаваме:
$\frac{b^2}{3\sqrt{13}} = \frac{27}{\sqrt{13}}$
Откъдето получаваме $b = 9cm$.
Другият катет можем да намерим вече по питагорова теорема:
$9.13 = 81 + a^2$
$a^2 = 36$
$a = 6cm$

[emil3993]

Благодаря. Има ли друг начин?

[darinalazarova73]

Нека АМ=МN=NB=Х,ВС=а,АС=b
CM,CN са медиани съответно в тр-к АNC и тр-к МВС
СМ=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\sqrt{2CN*2+2AC*2-AN*2}[/tex] (1)
CN=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\sqrt{2BC*2+2CM*2-MB*2}[/tex] (2)
[tex]ВС^{2}[/tex]+[tex]АС^{2}[/tex]=[tex]АВ^{2}[/tex] (3)
Получаваме с-ма-а,b,х=?
40=[tex]\frac{1}{4}[/tex](50+2[tex]b^{2}[/tex]-4[tex]x^{2}[/tex])
25=[tex]\frac{1}{4}[/tex](2[tex]a^{2}[/tex]+80-4[tex]x^{2}[/tex])
[tex]а^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]=[tex](3х)^{2}[/tex]

50+2[tex]b^{2}[/tex]-4[tex]х^{2}[/tex]=160 /:2
2[tex]а^{2}[/tex]+80-4[tex]x^{2}[/tex]=100 /:2
[tex]а^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]=9[tex]x^{2}[/tex]

[tex]a^{2}[/tex]=10+2[tex]x^{2}[/tex]
[tex]b^{2}[/tex]=55+2[tex]x^{2}[/tex]
[tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]=9[tex]x^{2}[/tex]
заместваме10+2[tex]x^{2}[/tex]+55+2[tex]x^{2}[/tex]=9[tex]x^{2}[/tex]
[tex]x^{2}[/tex]=13;х=[tex]\sqrt{13}[/tex]
[tex]а^{2}[/tex]=36 ;а=6
[tex]b^{2}[/tex]=81 ;b=9
ВС=6;АС=9