НМС и НГС на функция

[Needhelp]

Здравейте!! Може ли решението на задачката? Благодаря!!
Да се намерят най-малката и най-голямата стойности на функцията:
а) [tex]f(x)=sin^2x+cosx+2[/tex];
б) [tex]f(x)=4^{x}-2^{x}+3[/tex];
в) [tex]f(x)=sinx.sin3x[/tex].

На б) степените са в модул и има минус пред степените. Не можах да го направя!!?

[Davids]

a) $f(x) = sin^2x + cosx + 2 = 1 - cos^2x + cosx + 2 = -cos^2x + cosx + 3$
Полагаме $a = cosx$
Функцията придобива вида:
$f(x) = -a^2 - a + 3$
Отрицателен знак пред втората степен, намираме връхната стойност на функцията (максималната) чрез:
$a_0 = -\frac{-1}{-2} = -\frac{1}{2}$
$f(x)_{max} = f(a_0) = ... = \frac{13}{4}$

Сега ще изследваме дефиренцируемостта на функцията. Знаем, че понеже $a = cosx$, то $a \in [-1; 1]$. Понеже най-висока стойност се постига при $a = -\frac{1}{2}$, което е по-близо до -1 отколкото до 1, то значи функцията ще намалее повече при $a = 1$ отколкото при $a = -1$ и точно $a = 1$ ще даде поради тази причина най-малка стойност на функцията.
Следователно $f_{min} = f(1) = -1 -1 + 3 = 1$

[Davids]

b)
$f(x) = 4^{-|x|} - 2^{-|x|} + 3$
Полагаме $t = 2^{-|x|}$, което веднага ни дава $0 < t \le 1$
Функцията придобива вида $f(x) = t^2 - t + 3$
Положителен коефициент пред втората степен, значи върха ще дава най-малката стойност, която се получава за $t_0 = \frac{1}{2}$, което влиза в допустимите стойности. Оттам $f_{min} = f(\frac{1}{2}) = \frac{11}{4}$
Понеже $\frac{1}{2}$ е еднакво отдалечена от 0 и от 1 остава само малката подробност, че 0 не е включена в допустимите стойности, която малка подробност означава, че все пак единицата ще даде безкрайно нещожно по-голяма стойност на цялата функция, но все пак ще е най-високата. Затова $f_{max} = f(1) = 3$.

[Davids]

в)
$f(x) = sinx.sin3x = sinx.sin(2x + x) = sinx(sin2x.cosx + sinx.cos2x) = sinx[2sinx.cos^2x + sinx(cos^2x - sin^2x)] = sinx(2sinx.cos^2x + sinx.cos^2x - sin^3x) =$
$= sinx(3sinx.cos^2x - sin^3x) = sin^2x(3cos^2x - sin^2x) = sin^2x[3(1 - sin^2x) - sin^2x] = sin^2x(3 - 4sin^2x)$
За по-нагледно ще положим $0 \le t = sin^2x \le 1$
Получаваме квадратна функция:
$f(x) = t(3-4t) = -4t^2 + 3t$
Отрицателен знак пред втората степен, значис върха на параболата $t_0 = \frac{3}{8}$ (влиза в ДС) намираме най-голямата стойност и тя е
$f_{max} = f(\frac{3}{8}) = \frac{9}{16}$
Понеже $x_0 = \frac{3}{8}$ е по-близо до 0 отколкото до 1, то единицата ще свали повече от стойността на функцията, та затова
$f_{min} = f(1) = -1$

[Needhelp]

Благодаряяя!!!