ЗАДАЧА ОТ ТУ №4

[mmikovxy98]

Даден е правоъгълн триъгълник с катети AC=2 и BC=1. Хипотенузата му служи за катет на равнобедрен правоъгълен триъгълник ABD (AB[tex]\bot[/tex]BD), точките C и D са от различни страни на AB. Ако BM е медиана в ABD, намерете дължината на отсечката CM. ???

[loving_math]

[tex]\Delta ABC; 2^2+1^2=AB^2 => AB=\sqrt{5} cm[/tex]
[tex]AB \bot BD; AB=BD=\sqrt{5} cm; S_{ABD}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2} cm^2[/tex]
[tex]BM \bot AD; BM\equiv h, m, l=> AM=DM=BM=y; \angle DAB= \angle ADB=45 ^\circ[/tex]
[tex]S_{ABD}=\frac{2y.y}{2}=\frac{5}{2};y=\frac{\sqrt{10}}{2}[/tex]
[tex]\Delta ABC: \angle A=\alpha; sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}[/tex]
[tex]\alpha <90 ^\circ => cos\alpha >0; cos^2\alpha=1-sin^2\alpha=1-\frac{5}{25} => cos\alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex]
[tex]\Delta AMC: Cos T => CM^2=AM^2+AC^2-2.AM.AC.cos(45+\alpha)[/tex]
[tex]CM^2=\frac{10}{4} +4 -2.2.\frac{\sqrt{10}}{2}.cos(45+\alpha)[/tex]
[tex]CM^2= \frac{18}{4}; CM=\frac{3\sqrt{2}}{2} cm[/tex]