Стойности на параметри

[Needhelp]

Здравейте!! Може ли решението на задачката? Благодаря!!
Да се намерят стойностите на реалните параметри [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] , за които най-малката и най-голямата стойности на функцията [tex]f(x)=x^{2}+px+q[/tex] в интервала [-1;1] са съответно равни на 1 и -1.

[Davids]

Разглеждаме три случая:
I) когато върхът на параболата е вляво от интервала и в този интервал функцията е строго растяща
II) когато върхът на параболата е вътре в интервала и търсим или отляво (за -1) или отдясно (за 1) стойността да е 1
III) когато върхът на параболата е вдясно от интервала и в него функцията е строго намаляваща

Върхът на параболата имаме при $x_0 = -\frac{p}{2}$
Разписваме случаите чрез системи:

I)
[tex]\begin{array}{|l} -\frac{p}{2} < -1 \\ f(-1) = -1 \\ f(1) = 1 \end{array}[/tex]
От първото имаме $p > 2$, а като единствени решения надолу излизат $p = 1; q = -1$. Нямаме решение

II)
$\begin{array}{|l} -1 \le -\frac{p}{2} \le 1 \\ f(-\frac{p}{2}) = -1 \\ f(-1) = 1 \cup f(1) = 1 \end{array}$
От първото получаваме $p \in [-2; 2]$.
От второто достигаме до
$p^2 - 4q - 4 = 0$
От третото достигаме до два случая: а) $q = p$ и б) $q = -p$
Разглеждаме ги:

a) $p^2 - 4p - 4 = 0$
$p_1 = 2 - 2\sqrt{2}$ влиза в ДС
$p_2 = 2 + 2\sqrt{2}$ не влиза в ДС
Оттук едно решение: $\fbox{q = p = 2 - 2\sqrt{2}}$

б) $p^2 + 4p - 4 = 0$
$p_1 = -2-2\sqrt{2}$ не влиза в ДС
$p_2 = -2+2\sqrt{2}$ влиза в ДС
Оттук друго решение: $\fbox{p = 2\sqrt{2} - 2; q = 2 - 2\sqrt{2}}$

III)
$\begin{array}{|l} -\frac{p}{2} \ge 1 \\ f(1) = -1 \\ f(-1) = 1 \end{array}$
От първото $p \le -2$
От другите $p = q = -1$ и решения няма.

[Needhelp]

Мерсии!!