Квадратен тричлен, лице на триъгълник

[Needhelp]

Здравейте!! Може ли решението на задачката? Благодаря!!
Корените на квадратния тричлен [tex]f(x)=x^{2} - bx+c[/tex] са реални и принадлежат на интервала [0;1]. Да се докаже, че:
а) [tex]-\frac{1}{4}\le f(x) \le 1[/tex] за всяко [tex]x[/tex] от интервала [0;1];
б) лицето на триъгълника, чиито върхове са пресечените точки на графиката на [tex]f(x)[/tex] с координатните оси, не надминава [tex]\frac{1}{8}[/tex].

[monika_at]

Първата координата на върха на параболата е [tex]\frac{b}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}\epsilon [0;1][/tex]
[tex]f(x)[/tex] намалява в [tex][0;\frac{b}{2}][/tex] расте в [tex][\frac{b}{2}; 1][/tex]=>НМС [tex]f(x)=f(\frac{b}{2})[/tex], НГС е по-голямото от числата [tex]f(0); f(1)[/tex]. Достатъчно е да докажем, че [tex]f(\frac{b}{2})\ge-\frac{1}{4}[/tex] и [tex]f(0); f(1)\le1[/tex]
[tex]f(x)=(x-x_1)(x-x_2)=>f(0)=x_1x_2\le1[/tex]; [tex]f(1)=(1-x_1)(1-x_2)\le1[/tex] (товa е така, понеже [tex]0\le x_1;x_2\le1=>1-x_1; 1-x_2\epsilon[0;1][/tex].
[tex]f(\frac{b}{2})=-\frac{1}{4}(x_1-x_2)^2\ge-\frac{1}{4}[/tex], защото [tex](x_1-x_2)^2\le1[/tex]

[monika_at]

б) От [tex](2x_1-1)^2\ge0=>4x_1^2-4x_1+1\ge0=>x_1-x_1^2\le\frac{1}{4}=>x_1(1-x_1)\le\frac{1}{4}[/tex]
Нека [tex]x_2 \ge x_1=>S=\frac{1}{2}(x_2-x_1)x_1x_2\le\frac{1}{2}(1-x_1)x_1\le\frac{1}{8}[/tex]

[Needhelp]

Благодаряяя!!!

[mlazarov]

Здравейте, може ли малко по-подробно как се разписва [tex]НМСf(x)=f(\frac{b}{2})=f(\frac{x_{1 }+x_{2 }}{2}) до -\frac{1}{4}(x_{1 } - x_{2 })^2[/tex] ?