Стойности на параметър4

[Needhelp]

Здравейте!! Може ли решението на задачката? Благодаря!!
Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]m[/tex], за които уравнението [tex]f(x)=mx^{2}-(m+1)x+2-m=0[/tex]:
а) има реални корени и те принадлежат на интервала (-2;2);
б)има поне един корен в интервала [-2;2];
в) няма корен в интервала [-2;2];
г) има два корена, единият от които е в интервала (2;3), а другият е в интервала (4;5);
д)има два корена, единият от които е по-малък от [tex]m[/tex], а другият е по-голям от [tex]m[/tex].

[Davids]

$f(x) = mx^2 - (m+1)x + 2 - m = 0$
Ще разработим дискриминантата за всички подточки да е достъпна.
$D = m^2 + 2m + 1 - 4m(2 - m) = 5m^2 - 6m + 1 = (5m-1)(m-1)$

a)
Искаме неотрицателна дискриминанта и просто границите на интервала да връщат строго положителни (понеже е отворен и границите му не могат да са нули).
[tex]\begin{array}{|l} D \ge 0 \\ mf(-2) > 0 \\ mf(2) > 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} m \in (-\infty; \frac{1}{5}] \cup [1; +\infty) \\ m \in (-\infty; -\frac{4}{5}) \cup (0; +\infty) \\ m^2 > 0 \Rightarrow \forall m \ne 0 \end{array}[/tex]
Решение е $m \in (-\infty; -\frac{4}{5}) \cup [1; +\infty)$

б)
Отново неотрицателна дискриминанта, отново важи решението на горната подточка, в която и двата корена са в този интервал. Сега само ще добавим още един интервал в сечението - случая, в който само един корен е в интервала. Това става общо взето когато двете граници на интервала дават на функцията стойности с различни знаци, тоест трябва произведението им да е с отрицателен знак или да е нула (ако единият корен съвпадне с границата, понеже е затворен интервала).
$f(-2).f(2) \le 0$
$m(5m + 4) \le 0$
$m \in [-\frac{4}{5}; 0]$

Това решение влиза в интервала на дискриминантата, така че просто го добавяме към горното и решение на подточката е $m \in [-\frac{4}{5}; 0] \cup [1; +\infty)$

в)
Да няма корен в този интервал включва две възможности - да няма никакви корени или да има само такива извън този интервал.
За да е изпълнено първото, търсим отрицателна дискриминанта, т.е. първи интервал решения са $m \in [\frac{1}{5}; 1]$
Сега другият случай, с положителна дискриминанта и решения извън този интервал. За тази цел ни трябва просто границите му да дават отрицателни стойности. Решаваме:
$\begin{array}{|l} mf(-2) < 0 \\ mf(2) < 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} m \in (-\frac{4}{5}; 0) \\ m^2 < 0 \end{array}$
Второто неравенство няма решение, следователно и системата няма и единствен остава първият вариант с отрицателната дискриминанта.
Отговор: $m \in [\frac{1}{5}; 1]$

г)
Строго положителна дискриминанта, т.е. $m \in (-\infty; \frac{1}{5}) \cup (1; +\infty)$.
Иначе просто играем със знаци. Уморих се да пиша, принципът е същият
$\begin{array}{|l} mf(2) > 0 \\ mf(3) < 0 \\ mf(4) < 0 \\ mf(5) > 0 \end{array}$
Няма да разписвам, ще си ги решиш нататък

д)
Сега остава само да сложим $x = m$ да се намира помежду корените на уравнението (а.к.а в "отрицателната дупка" на параболата ), а за дискриминанта няма нужда да проверяваме в този случай. Тоест решаваме:
$mf(m) < 0$
Ще доразвием
$mf(m) = m(m^3 - m^2 - m + 2 - m) = m(m^3 - m^2 - 2m + 2) = m[m^2(m-1) - 2(m - 1)] = m(m^2 - 2)(m - 1) = (m + \sqrt{2})m(m - 1)(m - \sqrt{2})$
По метода на интервалите получаваме $m \in (-\sqrt{2}; 0) \cup (1; \sqrt{2})$.

[123a]

$f(x) = mx^2 - (m+1)x + 2 - m = 0$
Ще разработим дискриминантата за всички подточки да е достъпна.
$D = m^2 + 2m + 1 - 4m(2 - m) = 5m^2 - 6m + 1 = (5m-1)(m-1)$

a)
Искаме неотрицателна дискриминанта и просто границите на интервала да връщат строго положителни (понеже е отворен и границите му не могат да са нули).
[tex]\begin{array}{|l} D \ge 0 \\ mf(-2) > 0 \\ mf(2) > 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} m \in (-\infty; \frac{1}{5}] \cup [1; +\infty) \\ m \in (-\infty; -\frac{4}{5}) \cup (0; +\infty) \\ m^2 > 0 \Rightarrow \forall m \ne 0 \end{array}[/tex]
Решение е $m \in (-\infty; -\frac{4}{5}) \cup [1; +\infty)$

б)
Отново неотрицателна дискриминанта, отново важи решението на горната подточка, в която и двата корена са в този интервал. Сега само ще добавим още един интервал в сечението - случая, в който само един корен е в интервала. Това става общо взето когато двете граници на интервала дават на функцията стойности с различни знаци, тоест трябва произведението им да е с отрицателен знак или да е нула (ако единият корен съвпадне с границата, понеже е затворен интервала).
$f(-2).f(2) \le 0$
$m(5m + 4) \le 0$
$m \in [-\frac{4}{5}; 0]$

Това решение влиза в интервала на дискриминантата, така че просто го добавяме към горното и решение на подточката е $m \in [-\frac{4}{5}; 0] \cup [1; +\infty)$

в)
Да няма корен в този интервал включва две възможности - да няма никакви корени или да има само такива извън този интервал.
За да е изпълнено първото, търсим отрицателна дискриминанта, т.е. първи интервал решения са $m \in [\frac{1}{5}; 1]$
Сега другият случай, с положителна дискриминанта и решения извън този интервал. За тази цел ни трябва просто границите му да дават отрицателни стойности. Решаваме:
$\begin{array}{|l} mf(-2) < 0 \\ mf(2) < 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} m \in (-\frac{4}{5}; 0) \\ m^2 < 0 \end{array}$
Второто неравенство няма решение, следователно и системата няма и единствен остава първият вариант с отрицателната дискриминанта.
Отговор: $m \in [\frac{1}{5}; 1]$

г)
Строго положителна дискриминанта, т.е. $m \in (-\infty; \frac{1}{5}) \cup (1; +\infty)$.
Иначе просто играем със знаци. Уморих се да пиша, принципът е същият
$\begin{array}{|l} mf(2) > 0 \\ mf(3) < 0 \\ mf(4) < 0 \\ mf(5) > 0 \end{array}$
Няма да разписвам, ще си ги решиш нататък

д)
Сега остава само да сложим $x = m$ да се намира помежду корените на уравнението (а.к.а в "отрицателната дупка" на параболата ), а за дискриминанта няма нужда да проверяваме в този случай. Тоест решаваме:
$mf(m) < 0$
Ще доразвием
$mf(m) = m(m^3 - m^2 - m + 2 - m) = m(m^3 - m^2 - 2m + 2) = m[m^2(m-1) - 2(m - 1)] = m(m^2 - 2)(m - 1) = (m + \sqrt{2})m(m - 1)(m - \sqrt{2})$
По метода на интервалите получаваме $m \in (-\sqrt{2}; 0) \cup (1; \sqrt{2})$.

б) Като обединиш двете решения не се ли получава $(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$?
в) Не мисля, че изискването да няма корени в този интервал включва възможността уравнението изобщо да няма корени. Тук се изисква просто корените на уравнението да не са в този интервал. Тук би трябвало да се обединят два случая- един в който уравнението има два корена по-големи 2 и втори случай, в който уравнението ива два корена по-малки от -2. Така и в двата случая уравнението няма корени в този интервал.

[Davids]

Прав си за б), трябва да се откажа да пиша пoсреднощ
Иначе за долу и аз не знам, защо да не се включва възможността да няма хич хорени

[skadevil]

a)
Искаме неотрицателна дискриминанта и просто границите на интервала да връщат строго положителни (понеже е отворен и границите му не могат да са нули).
[tex]\begin{array}{|l} D \ge 0 \\ mf(-2) > 0 \\ mf(2) > 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} m \in (-\infty; \frac{1}{5}] \cup [1; +\infty) \\ m \in (-\infty; -\frac{4}{5}) \cup (0; +\infty) \\ m^2 > 0 \Rightarrow \forall m \ne 0 \end{array}[/tex]
Решение е $m \in (-\infty; -\frac{4}{5}) \cup [1; +\infty)$

Тук не трябва ли да има още едно условие:
-2<-[tex]\frac{b}{2a}[/tex]<2
като а и б ги взимаме от квадратното уравнение