Стойности на параметър3

[Needhelp]

Здравейте!! Може ли решението на задачката? Благодаря!!
Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]m[/tex] , за които уравнението [tex]lg(x^{2}-2mx+11=lg(2x+2)[/tex] има два различни реални корена.

[Davids]

Поради наличието на логаритъм сме длъжни да въведем допустими стойности за двата израза, а после ще антилогаритмуваме.
Та, търсим:
[tex]\begin{array}{|l} x^2 - 2mx + 11 > 0 \\ 2x + 2 > 0 \end{array}[/tex]
За да е първото квадратно строго положително, търсим строго отрицателна дискриминанта, тоест:
$4m^2 - 44 > 0$
$m \in (-\infty; -\sqrt{11}) \cup (\sqrt{11}; +\infty)$
А решение на второто е $x > -1$
Ще ги имаме и двете предвид.
Сега антилогаритмуваме и получаваме:
$x^2 - 2mx + 11 = 2x + 2$
$x^2 - 2(m+1)x + 9 = 0$
Искаме да има два различни реални корена. Тоест, спрямо допустимите стойности, дискриминантата освен че трябва да е положителна, трябва тези два корена да са по-големи от -1.
Имаме системката:
$\begin{array}{|l} D > 0 \\ f(-1) > 0 \\ x_0 > -1 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} 4m^2 + 8m + 4 - 36 > 0 \\ 1 + 2m + 2 + 9 > 0 \\ m+1 > -1 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} (m+4)(m-2) > 0 \\ m > -6 \\ m > -2 \end{array}$
Решението на системата е $m > 2$, но съобразено с допустимите стойности горе достигаме до $m > \sqrt{11}$

[123a]

Поради наличието на логаритъм сме длъжни да въведем допустими стойности за двата израза, а после ще антилогаритмуваме.
Та, търсим:
[tex]\begin{array}{|l} x^2 - 2mx + 11 > 0 \\ 2x + 2 > 0 \end{array}[/tex]
За да е първото квадратно строго положително, търсим строго отрицателна дискриминанта, тоест:
$4m^2 - 44 > 0$
$m \in (-\infty; -\sqrt{11}) \cup (\sqrt{11}; +\infty)$
А решение на второто е $x > -1$
Ще ги имаме и двете предвид.
Сега антилогаритмуваме и получаваме:
$x^2 - 2mx + 11 = 2x + 2$
$x^2 - 2(m+1)x + 9 = 0$
Искаме да има два различни реални корена. Тоест, спрямо допустимите стойности, дискриминантата освен че трябва да е положителна, трябва тези два корена да са по-големи от -1.
Имаме системката:
$\begin{array}{|l} D > 0 \\ f(-1) > 0 \\ x_0 > -1 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} 4m^2 + 8m + 4 - 36 > 0 \\ 1 + 2m + 2 + 9 > 0 \\ m+1 > -1 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} (m+4)(m-2) > 0 \\ m > -6 \\ m > -2 \end{array}$
Решението на системата е $m > 2$, но съобразено с допустимите стойности горе достигаме до $m > \sqrt{11}$

Това не е вярно, така всяко х ще е решение. Изискването първото уравнение да е строго положително е излшно и не засичаме с $m \in (-\infty; -\sqrt{11}) \cup (\sqrt{11}; +\infty)$

Окончателен отговор: $m > 2$