Стойности на параметър1

[Needhelp]

Здравейте!! Може ли решението на задачката? Благодаря!!
Да се намерят стойностите на параметъра [tex]\alpha \in (0;2\pi )[/tex], за които всички решения на неравенството [tex]x^{2}sin\alpha + x cos^{2}\alpha-sin\alpha <0[/tex] принадлежат на интервала (-1;1).

[Knowledge Greedy]

Да се намерят стойностите на параметъра [tex]α∈(0;2π)[/tex], че всички решения на неравенството [tex]x^2sinα+xcos^2α−sinα<0[/tex] да принадлежат на интервала [tex](-1;1)[/tex].

[tex]D=cos^4\alpha+4sin^2\alpha\ge 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex](1-sin^2\alpha)^2+4sin^2\alpha\ge 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex](1+sin^2\alpha)^2\ge 0[/tex]
- За всяка стойност на [tex]\alpha[/tex]
Но по-важното в случая е, че намираме
[tex]x_1=\frac{-cos^2\alpha+1+sin^2\alpha}{sin\alpha}=sin\alpha[/tex]
и
[tex]x_2=\frac{-cos^2\alpha-1-sin^2\alpha}{2sin\alpha}=-\frac{1}{sin\alpha}[/tex]
Разлагаме лявата страна на множители
[tex]sin\alpha(x-sin\alpha)\left (x+\frac{1}{sin\alpha} \right )<0 \,\ ^{(\ast)}[/tex]
Явно е ( ), [tex]sin\alpha\ne 0[/tex] - виж началото.
Нека първо [tex]sin\alpha\in (0;1)[/tex]
Решенията на неравенството [tex]^{(\ast)}[/tex] са [tex]\forall x\in \left (-\frac{1}{sin\alpha};sin\alpha \right )[/tex]
Това, което искаме в условието [tex]\left (-\frac{1}{sin\alpha};sin\alpha \right )\subset (-1;1)[/tex] е невъзможно, т.к. сечение на двата интервала е [tex]\left (-\frac{1}{sin\alpha};-1 \right )[/tex].
Втора възможност [tex]sin\alpha\in (-1;0)[/tex]
Решенията на неравенството [tex]^{(\ast)}[/tex] са [tex]\forall x\in (-\infty;sin\alpha) \cup \left (-\frac{1}{sin\alpha};+\infty \right )[/tex] - отново решенията е невъзможно да се вместят в интервала [tex](-1;1)[/tex].
Понеже [tex]α∈(0;2π)[/tex], има още две възможности за [tex]sin\alpha[/tex].
Трето: [tex]\alpha =\frac{\pi}{2}[/tex] - при нея [tex]sin\alpha =1[/tex] и решенията на [tex]^{(\ast)}[/tex] са точно всички числа от интервала [tex](-1;1)[/tex].
Четвърто: [tex]\alpha =\frac{3\pi}{2}[/tex] - при нея [tex]sin\alpha =-1[/tex] и решенията са в обединението на двата интервала [tex](-\infty;-1) \cup \left (1;+\infty \right )[/tex] - отново решенията е невъзможно да се вместят в интервала [tex](-1;1)[/tex].
Случаят [tex]\begin{array}{|l} D<0 \\ sin\alpha <0 \end{array}[/tex] изобщо не разглеждаме, защото решенията на неравенството са всички реални числа и дума не може да става за интервала [tex](-1;1)[/tex].
Отговор: [tex]\alpha = \frac{\pi}{2}[/tex]

[Needhelp]

Мерсиии!!