Неравенства

[Needhelp]

Здравейте!! Може ли решението на задачката? Благодаря!!
Да се реши неравенството:

[Nathi123]

[tex]log_{cosx}(1 + sinx )>0\Rightarrow sinx\ne -1 (1+sinx >0)\Rightarrow x\ne -\frac{\pi}{2}+2k\pi; k \in Z \cap cosx>0;[/tex]
[tex]cosx \ne 1 \Rightarrow x\in(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi); x\ne2k\pi; k \in Z .[/tex]
[tex]\Rightarrow x\in (-\frac{\pi}{2}+2k\pi,2k\pi)\cup (2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi]\cap (1+sinx<1) \Rightarrow sinx<0\cap x\in (-\frac{\pi}{2}+2k\pi,2k\pi)\cup (2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi][/tex]
[tex]\Rightarrow x\in (-\frac{\pi}{2}+2k\pi,2k\pi) ; k\in Z .[/tex]

[Davids]

г)
$3^{cos2x + 5sinx} - 3^{3 - cos2x - 5sinx} > 26$
Полагаме $t = 3^{cos2x + 5sinx} > 0$ и получаваме:
$t - \frac{27}{t} - 26 > 0$
$t^2 - 26t - 27 > 0$
$t_1 = -1$
$t_2 = 27$
$(t + 1)(t - 27) > 0$
Понеже $t$ е строго положително, то левият множител не оказва влияние и имаме да решим единствено:
$t > 27$
$3^{cos2x + 5sinx} > 3^3$
$cos2x + 5sinx > 3$
$cos^2x - sin^2x + 5sinx - 3 > 0$
$1 - sin^2x - sin^2x + 5sinx - 3 > 0$
$2sin^2x - 5sinx + 2 < 0$
Решаваме, разлагаме на множители:
$(2sinx - 1)(sinx - 2) < 0$
Вторият множител е строго отрицателен, така че имаме да решим:
$2sinx - 1 > 0$
$sinx > \frac{1}{2}$
Тоест $sinx \in (\frac{1}{2}; 1)$
$sinx \in ((\frac{1}{6} + 2k)\pi; (\frac{5}{6} + 2k)\pi), k \in Z$

[Davids]

в)
$\sqrt{4cosx + 2} \ge 3cosx + \frac{1}{2}$
Полагаме $t = cosx$
Решаваме във вид на радикално неравенство:
$\sqrt{4t + 2} \ge 3t + \frac{1}{2}$
Свежда се до решаването на две системи, два случая:
$I)
\begin{array}{|l} 4t + 2 \ge 0 \\ 3t + \frac{1}{2} < 0 \end{array}$
Решения са $t \in [-\frac{1}{2}; -\frac{1}{6})$
$II)
\begin{array}{|l} 3t + \frac{1}{2} \ge 0 \\ 4t + 2 \ge (3t + \frac{1}{2})^2 \end{array}$
Решения са $t \in [-\frac{1}{6}; \frac{1}{2}]$
Понеже обединяваме решенията на двата случая (или, или), то трябва да обединим интервалите, получавайки окончателно:
$t = cosx \in [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$
Което в тригонометричен вид дава за $x$:
$x \in (2k\pi; (\frac{1}{6} + 2k)\pi) \cup (\frac{5}{6} + 2k)\pi; (2+2k)\pi), k \in Z$

[Needhelp]

Много ти благодаря Davids , но отговорът на в) е [tex]x \epsilon [\frac{\pi}{3}+2k\pi; \frac{2\pi}{3}+2k\pi]\cup[\frac{4\pi}{3}+2k\pi;\frac{5\pi}{3}+2k\pi][/tex].

[Davids]

Много ти благодаря Davids , но отговорът на в) е [tex]x \epsilon [\frac{\pi}{3}+2k\pi; \frac{2\pi}{3}+2k\pi]\cup[\frac{4\pi}{3}+2k\pi;\frac{5\pi}{3}+2k\pi][/tex].

Като нищо съм сбъркал тригонометричния израз на решението... Някой да проверява