ЗАДАЧА ОТ ТУ №6

[mmikovxy98]

Медицентърът на равнобедрен триъгълник АБЦ (АЦ=БЦ) лежи върху вписаната в триъгълника окръжност, чийто радиус е равен на r. Страната АБ има дължина?

[Knowledge Greedy]

Медицентърът дели медианата в остношение 2:1 считано от върха, през който е построена медианата.
Ако това е медианата [tex]CM[/tex] през върха срещу основата на равнобедрения триъгълник (точка [tex]M[/tex] e средата на [tex]AB[/tex]), тази медиана е и височина. Значи височината се състои от три диаметъра на вписаната окръжност.
Оттук в правоъгълния триъгълник [tex]\Delta TIC[/tex] (където [tex]T[/tex] е допирната точка на вписаната окръжност с бедрото [tex]BC[/tex], а [tex]I[/tex]е центърът на вписаната окръжност) [tex]sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{5r}=\frac{1}{5}[/tex]
Автоматично [tex]cos\frac{\gamma}{2}=\frac{\sqrt{24}}{5}[/tex]
[tex]tg\frac{\gamma}{2}=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex]
Но [tex]tg\frac{\gamma}{2}=\frac{BM}{CM}=\frac{BM}{6r}[/tex]
Следователно
[tex]BM=6r.\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex]
[tex]AB=r\sqrt{6}[/tex]

[mmikovxy98]

Медицентърът дели медианата в остношение 2:1 считано от върха, през който е построена медианата.
Ако това е медианата [tex]CM[/tex] през върха срещу основата на равнобедрения триъгълник (точка [tex]M[/tex] e средата на [tex]AB[/tex]), тази медиана е и височина. Значи височината се състои от три диаметъра на вписаната окръжност.
Оттук в правоъгълния триъгълник [tex]\Delta TIC[/tex] (където [tex]T[/tex] е допирната точка на вписаната окръжност с бедрото [tex]BC[/tex], а [tex]I[/tex]е центърът на вписаната окръжност) [tex]sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{5r}=\frac{1}{5}[/tex]
Автоматично [tex]cos\frac{\gamma}{2}=\frac{\sqrt{24}}{5}[/tex]
[tex]tg\frac{\gamma}{2}=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex]
Но [tex]tg\frac{\gamma}{2}=\frac{BM}{CM}=\frac{BM}{6r}[/tex]
Следователно
[tex]BM=6r.\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex]
[tex]AB=r\sqrt{6}[/tex]

Предполагам, че има и друг вариянт без тригонометричните функции. Така ми е сложно на мен, дали ще може да го обясниш малко по простичко, стига да е възможно ?

[Knowledge Greedy]

Без свойството на медицентъра [tex]G[/tex] не може.
И така, установихме, че височината [tex]CM=h=6r[/tex]
Ще използваме двете формули за лице
[tex]S=\frac{AB.h}{2}[/tex]
и
[tex]S=pr[/tex]

Вписаната в равнобедрен триъгълник.png (4.81 KiB) Прегледано 298 пъти

За да открием полупериметъра [tex]p[/tex], намираме първо [tex]CT[/tex] по теоремата на Питагор за правоъгълния триъгълник [tex]\Delta TIC[/tex].
[tex]CT^2=CI^2-IT^2 \,\ \Rightarrow \,\ CT=r\sqrt{24}[/tex]
За по-кратко да означим с [tex]x[/tex] половината на [tex]AB[/tex].
За периметъра получаваме [tex]AB+BC+CA=2r\sqrt{24}+4x[/tex], следователно полупериметърът [tex]p=2x+r\sqrt{24}[/tex]
Приравняваме двете формули за лице от по-горе
[tex]x.h=pr[/tex]
и заместваме
[tex]x.6 \cancel{r}=\left ( 2x+r\sqrt{24} \right )\cancel{r}[/tex]
Съкращаваме [tex]r[/tex] и от останалото изразяваме [tex]x[/tex], респективно [tex]2x[/tex] - цялата основа.
[tex]2x=\frac{r\sqrt{24}}{2}=\frac{\cancel{2}\sqrt{6}}{\cancel{2}}r[/tex]