Неравенство

[Needhelp]

Да се докаже, че за всяко реално число [tex]x[/tex] е в сила неравенството:
a)[tex]2^{x}+2^{-x}\ge2-x^{2}[/tex];
б)[tex]x^{2}+x+1>sinx[/tex].

[Davids]

$2^x + 2^{-x} \ge 2 - x^2$
Ще разгледаме двете страни.
За лявата имаме:
$2-x^2 \le 2$
тъй като $x^2$ може да заема само неотрицателни стойности.
За дясната имаме:
$2^x + 2^{-x} \ge 2$
понеже при каквато и да е стойност на $x$ единият степенен показател ще е по-голям от 2, а другият - между 0 и 1. Единственият случай, в който и двете ще са единици (и сборът им пак ще е 2), е при $x = 0$
С това доказваме неравенството.

[Davids]

$x^2 + x + 1 > sinx$
Разглеждаме двете страни.
Лявата:
Ясно е, че $sinx \in [-1; 1]$
Дясната:
Разглеждаме функцията $f(x) = x^2 + x + 1$
Първо намираме отрицателната дискриминанта, което значи, че няма нули. Значи приема само положителни стойности.
Намираме минимума на функцията: $f_{min} = \frac{3}{4}$ при $x = -\frac{1}{2}$
Ако това е най-малката стойност на функцията, то значи ни интересува кога тя ще има стойности между $\frac{3}{4}$ и $1$. Във всички други случаи, стойностите й ще са по-големи от 1 и неравенството ще е вярно. Остава само да докажем това значи.
Намираме стойностите, решавайки $f(x) = 1$
Оттам откриваме, че $f(x) \in [\frac{3}{4}; 1]$ само при $x \in [-1; 0]$

Отново се връщаме на дясната страна, като констатираме, че за $x \in [-1; 0]$ имаме $sinx \le 0$, което винаги е по-малко от коя да е стойност на нашата функция.
С това неравенството е доказано за всяко $x$.