Стойности на параметър, неравенство

[Needhelp]

Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които всяко реално число [tex]x[/tex] е решение на неравенството:
а)[tex]sin^{4}x+cos^{4}x+asin2x\ge0[/tex];
б)[tex]sin^{6}x+cos^{6}x+asinxcosx>0[/tex].

[ева]

а) ([tex]sin^{2}[/tex]х)*2+([tex]cos^{2}[/tex]х)*2+2[tex]sin^{2}[/tex]х[tex]cos^{2}[/tex]х-2[tex]sin^{2}хcos^{2}[/tex]х+a.sin2х[tex]\ge[/tex]0
([tex]sin^{2}[/tex]х+[tex]cos^{2}[/tex]х)*2-2[tex]sin^{2}[/tex]х[tex]cos^{2}[/tex]х+аsin2х[tex]\ge[/tex]0
1-[tex]\frac{4}{2}[/tex][tex]sin^{2}[/tex]х[tex]cos^{2}[/tex]х+a.sin2х[tex]\ge[/tex]0
1-[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]sin^{2}[/tex](2х)+а.sin(2х)[tex]\ge[/tex]0
2+2a.sin(2х)[tex]\ge[/tex][tex]sin^{2}[/tex](2х) но [tex]sin^{2}[/tex](2х)[tex]\ge[/tex]0
[tex]\Rightarrow[/tex]
2+2а.sin(2х)[tex]\ge[/tex]0
1 сл. а[tex]\ge[/tex]0
sin(2х)[tex]\ge[/tex]-[tex]\frac{2}{2а}[/tex]
1[tex]\ge[/tex]sin(2х)[tex]\ge[/tex]-[tex]\frac{1}{а}[/tex]
[tex]\frac{1}{а}[/tex]+1[tex]\ge[/tex]0
(1+а)а[tex]\ge[/tex]0[tex]\Rightarrow[/tex]а[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex];-1)[tex]\cup[/tex](0;+[tex]\infty[/tex]) но а[tex]\ge[/tex]0 в този случай [tex]\Rightarrow[/tex]а[tex]\in[/tex](0;+[tex]\infty[/tex]) пиша с отворени скоби,защото не мога да намеря затворените
2 сл. а<0
sin(2х)[tex]\le[/tex]-[tex]\frac{2}{2а}[/tex]
-1[tex]\le[/tex]sin(2х)[tex]\le[/tex]-[tex]\frac{1}{а}[/tex]
(1-а)а[tex]\le[/tex]0
а[tex]\in[/tex] (0;1) но а<0 в този случай [tex]\Rightarrow[/tex]няма решение във 2 сл.
отг.а[tex]\in[/tex](0;+[tex]\infty[/tex])
това е идеята ми,но може и да греша

[S.B.]

а)[tex]sin^{4}[/tex]x + [tex]cos^{4}[/tex]x + a.sin2x[tex]\ge[/tex]0
[tex](sin^{2}x + cos^{2}x)^{2}[/tex] - 2.[tex]sin^{2}x[/tex].[tex]cos^{2}x[/tex] + a.sin2x[tex]\ge[/tex]0 [tex]\Rightarrow[/tex] 1 - [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]sin^{2}2x[/tex] + a.sin2x[tex]\ge[/tex]0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]sin^{2}2x[/tex] - a.sin2x -1[tex]\le[/tex]0
Нека sin2x=t; sin2x[tex]\in[/tex][-1,+1] [tex]\rightarrow[/tex] t[tex]\in[/tex][-1 , +1]
[tex]\frac{t^{2}}{2}[/tex] - a.t -1[tex]\le[/tex]0 или [tex]t^{2}[/tex] - 2a.t - 2 [tex]\le[/tex] 0 ; D= 4[tex]a^{2}[/tex] + 8 = 4([tex]a^{2}[/tex] +2) > 0 за [tex]\forall[/tex] а ; [tex]t_{1 }[/tex] = a - [tex]\sqrt{a^{2} + 2}[/tex] и [tex]t_{2 }[/tex] = a + [tex]\sqrt{a^{2} + 2}[/tex] ; тогава:
[tex]t^{2}[/tex] - 2a.t -2 = (t - [tex]t_{1 }[/tex])(t - [tex]t_{2 }[/tex])[tex]\le[/tex] 0 като се вземaт предвид получените стойности за [tex]t_{1 }[/tex] и [tex]t_{2 }[/tex] се получава:
t[tex]\in[/tex][ a - [tex]\sqrt{a^{2} + 2}[/tex] , a + [tex]\sqrt{a^{2} + 2}[/tex] ] но t[tex]\in[/tex][-1,+1] за това решаваме двете неравенства: a - [tex]\sqrt{a^{2} + 2}[/tex][tex]\ge[/tex] - 1 и a + [tex]\sqrt{a^{2} + 2}[/tex][tex]\le[/tex] 1
a - [tex]\sqrt{a^{2} + 2}[/tex] [tex]\ge[/tex] -1[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\sqrt{a^{2} + 2}[/tex][tex]\le[/tex] a + 1 и при а[tex]\ge[/tex] -1 ,[tex]а^{2}[/tex] + 2 [tex]\le[/tex][tex]а^{2}[/tex] + 2а + 1 от където а[tex]\ge[/tex][tex]\frac{1}{2}[/tex] ;
От второто неравенство a + [tex]\sqrt{a^{2} + 2}[/tex] [tex]\le[/tex] 1 при анологичен начин на решение се получава a[tex]\le[/tex] - [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Или окончателно : a[tex]\in[/tex][-[tex]\infty[/tex],-[tex]\frac{1}{2}[/tex]] [tex]\cup[/tex] [ [tex]\frac{1}{2}[/tex] , +[tex]\infty[/tex]]

[S.B.]

б)[tex]sin^{6}[/tex]x + [tex]cos^{6}[/tex]x + a.sinx.cosx >0 [tex]\Leftrightarrow[/tex]([tex]sin^{2}[/tex]x + [tex]cos^{2}[/tex]x)([tex]sin^{4}[/tex]x - [tex]sin^{2}[/tex]x.[tex]cos^{2}[/tex]x + [tex]cos^{4}[/tex]x) + [tex]\frac{a}{2}[/tex].2.sinx.cosx > 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex](sin^{2}x +cos^{2}x)^{2}[/tex] - 3[tex]sin^{2}[/tex]x.[tex]cos^{2}[/tex]x + [tex]\frac{a}{2}[/tex].sin2x>0 [tex]\Leftrightarrow[/tex]1- [tex]\frac{3}{4}.sin^{2}[/tex]2x + [tex]\frac{a}{2}[/tex].sin2x > 0
sin2x = t ; sin2x[tex]\in[/tex][-1,1] [tex]\rightarrow[/tex] t[tex]\in[/tex][-1,1] и се получава :[tex]\frac{3}{4}[/tex][tex]t^{2}[/tex] - [tex]\frac{a}{2}[/tex]t - 1 < 0 или 3 [tex]t^{2}[/tex] - 2at - 4 <0 D=4([tex]a^{2}[/tex] + 12) > 0 за [tex]\forall[/tex] а;
[tex]t_{1 }[/tex] = [tex]\frac{a - \sqrt{a^{2} + 12}}{3}[/tex] и [tex]t_{2 }[/tex] = [tex]\frac{a + \sqrt{a^{2} + 12}}{3}[/tex]; 3([tex]t^{2}[/tex] - 2at -4=3(t - [tex]t_{1 }[/tex])(t - [tex]t_{2 }[/tex]) < 0 от където t[tex]\in[/tex][ [tex]t_{1 }[/tex] , [tex]t_{2 }[/tex]] за намерените стойности.
Но t[tex]\in[/tex] [-1,+1] и за това ще трябва да решим двете неравенства : [tex]\frac{a - \sqrt{а^{2} + 12}}{3}[/tex][tex]\ge[/tex] -1 и [tex]\frac{a + \sqrt{а^{2} + 12}}{3}[/tex][tex]\le[/tex] 1
От първото неравенство получаваме a[tex]\ge[/tex][tex]\frac{1}{2}[/tex], a от второто , а[tex]\le[/tex]-[tex]\frac{1}{2}[/tex]или
а[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex],-[tex]\frac{1}{2}[/tex]] [tex]\cup[/tex][[tex]\frac{1}{2}[/tex], +[tex]\infty[/tex])

[pal702004]

S.B., За да е изпълнено неравенството $t^2-2at-2\le 0 \; \forall t \in [-1;1]$ е необходимо и напълно достатъчно

$\begin{cases} f(-1)\le 0 \\f(1)\le 0 \end{cases}$

или $a\in \left[-\frac 1 2;\frac 1 2\right]$

[S.B.]

Значи пак съм объркала нещо!Явно днес не ми е ден!