Геометрична задача10

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.
В равнобедрен тръгълник с ъгъл [tex]\alpha[/tex] при основата частното от дължините на радиуса на вписаната окръжност и височината към основата е?

[KOPMOPAH]

Ако бедрото е $b$, то височината е $b \sin \alpha$, половината основа е $b \cos \alpha$, а радиусът на вписаната окръжност $r$ се намира от зависимостта $\frac r {b \cos \alpha}=\tan \frac \alpha 2 \Rightarrow r=b \cos \alpha \tan \frac \alpha 2 $. Търсеното отношение е $\frac {\cancel b\cos \alpha \tan \frac \alpha 2 }{\cancel b \sin \alpha}=\frac {\tan \frac \alpha 2}{\tan \alpha }$. Като изразим $\tan \alpha$ чрез $\tan \frac \alpha 2 $, получаваме $\frac {\tan \frac \alpha 2}{\tan \alpha }=\frac {\tan \frac \alpha 2}{\frac{2\tan \frac \alpha 2}{1-\tan^2 \frac \alpha 2}}=\frac{\tan \frac \alpha 2(1-\tan^2 \frac \alpha 2)}{2\tan \frac \alpha 2}=\frac{\cancel{\tan \frac \alpha 2}(1-\tan^2 \frac \alpha 2)}{2\cancel{\tan \frac \alpha 2}}=\frac {1-\tan^2 \frac \alpha 2} 2$

[emil3993]

Възможни отговори:
1)tg[tex]\alpha[/tex]
2)tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]
3)[tex]\frac{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}{2}[/tex]
4)не може да се определи