Геометрична задача 11

[emil3993]

Здравейте математици! Пробвах се да ги реша, но имам затруднения. Може ли решението? Благодаря предварително.

[Davids]

С даденото доказваме, че четириъгълникът е трапец по следния начин:
Първите два триъгълника споделят една и съща височина към $AC$, следователно отношението на лицата им важи за частите от $AC$, които всеки от тях има за страна. Оттам имаме вече $AO:OC = 3:1$.
Аналогично със същата логика действаме и за другите два триъгълника, с което доказваме, че $DO:DB = 1:4$, ерго $DO:OB = 1:3$.
Получаваме равни отношения, следователно триъгълниците са подобни, ъглите им са съответно равни (бележка: НЕ са равнобедрени триъгълниците, въпреки че малко така изглежда от този чертеж), откъдето и $AB||DC$.

Вече работим с успоредник, което придава истинност на всички други твърдения, освен В), тъй като това отношение е коефициентът на подобие на двата триъгълника, а знаем, че лицата им се отнасят като коефициентът, но повдигнат на втора степен. Тоест, $S_{AOB}:S_{DOC} = 9:1$, а не $3:1$

[emil3993]

Благодаря.