Геометрична задача 12

[emil3993]

Здравейте математици! Пробвах се да ги реша, но имам затруднения. Може ли решението? Благодаря предварително.

[123a]

MB-медиана в триъгълник MBG' => S на MBG=6. S ABC= 6SMBG=>SABC=24

[Davids]

Работим само и единствено със следната логика:
Когато два триъгълника имат отсечки от една и съща права за страни и споделят общ връх (или върховете им лежат на права, успоредна на дадената), то лицата им се отнасят както въпросните отсечки от първата права. (Малко тромаво, но универсалните обобщени формулировки винаги са тежки ще ме прощаваш, но нямам възможността за чертежи нагледно обясняване)
Но ще дам пример
$CG:GM = 2:1$ (свойство на медицентър). И сега понеже $\Delta GMB$ и $CMB$ споделят различни отсечки от $CM$ за страни и имат общ връх $B$, то лицата им ще се отнасят както $GM:CM = 1:3$, понеже ако спуснем височината $h_{CM}$ от $B$, на единият лицето ще е $\frac{GM.h}{2}$, а на другият - $\frac{CM.h}{2}$. Правейки отношението, виждаме как всичко се съкращава, свеждайки отношението на лицата до $GM:CM$.

Осмислиш ли това, тази задача се решава наум. С това се и доказва свойството на медианата в триъгълника да го разделя на два равнолицеви.
Сега решаваме задачата:
Понеже $GM = MG'$ и обяснената горе причина, $S_{GMB} = S_{G'MB} = 4$.
Аналогично $S_{CGB} = 2SGMB = 8$.
Получихме $S_{MBC} = 8 + 4 = 12$
И сега пак ползваме тази зависимост (в частния случай също наречена и свойство на медианата), според която $S_{AMC}$ също е 12.
Цялото лице е 24.
Можем и да подходим с цялостно изразяване на отношения на лица и да сведем всичко до изразяване чрез лицето на дадения триъгълник.