Геометрична задача 14

[emil3993]

Здравейте математици! Пробвах се да ги реша, но имам затруднения. Може ли решението? Благодаря предварително.

[Davids]

По косинусова теорема намираме веднага $BC = 8$.
Ще построим триъгълника $OBC$, който ще е равнобедрен с бедро $R$.
Ще спуснем растоянието $OP = x$, като то ще е част от симетралата на ВС.
Имаме правоъгълен триъгълник $OPC$ с хипотенуза $R$ и катети $4$ и $x$.
За да намерим търсеното, ще намерим радиуса.
Намираме лицето по формулата: $S = \frac{5.8.sin60}{2} = 10\sqrt{3}$
Но имаме и $S = 10\sqrt{3} = \frac{5.8.7}{4R}$, откъдето $R = \frac{5.8.7}{4.10\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}}$
Правим питагорова теорема:
$R^2 = x^2 + 16$
$\frac{49}{3} = x^2 + 16$
$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

[emil3993]

Благодаря.