Геометрична задача 15

[emil3993]

Здравейте математици! Пробвах се да ги реша, но имам затруднения. Може ли решението? Благодаря предварително.

[Davids]

Обозначаваме $AB = b$, $AD=DB=x$
Правим косинусова теорема за $\Delta ABD$, според която:
$x^2 = x^2 + b^2 - 2bxcos\angle ABC$
$...$
$b = \frac{4}{3}x$
Сега ще обозначим допирната точка на окръжността с АВ с $P$ и с $AC$ с $N$.
Имаме $BP = BD = x$
Ерго $AP = \frac{4}{3}x - x = \frac{1}{3}x$
Само че $AP = AN = \frac{1}{3}x$
Паралелно с това имаме обаче и $CD = CN = 9-x$
Така получаваме $AC = \frac{1}{3}x + 9 - x = 9 - \frac{2}{3}x$
Правим косинусова теорема за целия триъгълник, за да намерим $x$:
$(9 - \frac{2}{3}x)^2 = 81 + \frac{16}{9}x^2 - 2.9.\frac{4}{3}x.\frac{2}{3}$
Откъдето намираме единствен положителен корен $x = 3$ и $b = 4$.
Сигурен съм, че има и много по-лесен начин, който е замисъл на задачата, но нека това е алтернативен вариант