Описана сфера

[hvyhg]

Дадена е триъгълна пирамида ABCDQ. ABC - основа, AB=10, BC=6, AC=8, QA=QC=4[tex]\sqrt{5}[/tex], V=32[tex]\sqrt{3}[/tex].
Да се намери ъгъла между равнините ABC и AQC
Да се намери радиуса на описаната около пирамидата сфера

[Nathi123]

Нека [tex]QQ_{1 }\bot (ABC)\Rightarrow V=\frac{S_{\Delta ABC }.QQ_{1 }}{3}\Rightarrow QQ_{1 }=\frac{3V}{S_{\Delta ABC }}; S_{\Delta ABC }=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12.2.6.4}=4.3.2=24 cm^{2}\Rightarrow QQ_{1 }= 4\sqrt{3} cm.[/tex]
От QA=QC [tex]\Rightarrow Q_{1 }A=Q_{1 }C\Rightarrow[/tex] точка [tex]Q_{1 }[/tex] е от симетралата на АС.
Построяваме [tex]Q_{1 }H\bot AC\Rightarrow HA=HC=\frac{1}{2}AC=4 cm; QH\bot AC[/tex] ( Т-ма за 3 те перпендикуляра.)
От триъг. CQH и т-ма на Питагор[tex]\Rightarrow QH^{2}=16.5-16=16.4=64\Rightarrow QH=8 cm.[/tex]
[tex]\angle QHQ_{1 } = \angle ((ABC),(ACQ))=\alpha; \Delta HQQ_{1 }\Rightarrow \angle (QQ_{1 }H)=90^\circ \Rightarrow \frac{QQ_{1 }}{QH}=sin\alpha\Rightarrow sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \alpha =60^\circ \cup \alpha = 120^\circ.[/tex]
В условието не е казано,че пирамидата е права,тогава т.[tex]Q_{1 }[/tex] ще е външна за триъг. АВС и търсеният ъгъл ще е [tex]120^\circ[/tex].

б) [tex]Q_{1 }H[/tex]-симетрала на АС в ( АВС)[tex]\Rightarrow Q_{1 }H e[/tex] от симетралната равнина на АС; аналогично ако р есиметралата на АВ от (АВС),то тя е права от симетралната р-на на АВ . Двете симетрали се пресичат в т О- център на описаната около триъг. АВС окръжност.Следователно двете симетрални равнини се пресичат по права q минаваща през т.О и перпенд. на равн. (АВС).Т.е. центърът O'на описаната сфера е точка от qqкоято е на равни разст. от всички върхове на пирамидата.
Построяваме [tex]O'O_{1 }\bot (ACQ) \Rightarrow O_{1 }[/tex] e център на описаната около триъг ACQ окръжност.
[tex]S_{ACQ }=\frac{1}{2}AC.QH=32 cm^{2}[/tex]. Ако [tex]R_{1 }[/tex] - радиуса на описаната около триъг. ACQ окръжност, определяме,че
[tex]R_{1 }= 5 cm[/tex] ( от лицето на триъг.)
[tex]\Rightarrow O'O = O_{1 }H= 3[/tex] ( Т на Питагор за тр. [tex]CHO_{1 }[/tex]).
[tex]\Delta O'OC \Rightarrow O'C^{2} = O'O^{2} + OC^{2}= 9 + 25=34\Rightarrow O'C = \sqrt{34}[/tex] = радиуса на оп. сфера.