Равностранен триъгълник раздеен на две равнолицеви части

[nexus5219]

Равностранен триъгълник е разделен на две равнолицеви части по два начина: чрез отсечkа, която минава през негов връх, и чрез най-късата отсечка, която не минава през връх. Коя от двете отсечки е по-къса?

Предполагам, че отсечката която минава през върха е медиана/височина и оттам намирам, че лицето на единия триъгълник е S = [tex]\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}[/tex] , но оттам не съм сигурен как да продължа.

[Knowledge Greedy]

Равностранен с разполовено лице.png (2.34 KiB) Прегледано 254 пъти

[tex]S_{\Delta PQC} = \frac{1}{2} S_{\Delta ABC}[/tex]
Продължаваме така
[tex]\frac{1}{\cancel {2}}xy{sin60^\circ =\frac {a^2\sqrt{3}}{\cancel {8}^4}}[/tex]
[tex]xy \frac{\cancel{\sqrt{3}}}{2}=\frac{a^2\cancel{\sqrt{3}}}{4}[/tex]
Значи [tex]xy=\frac{a^2}{2}[/tex]
Сега прилагаме косинусова теорема за същия този [tex]\Delta PQC[/tex]
[tex]PQ^2=x^2+y^2-\cancel{2}xy\cancel{cos60^\circ}[/tex]
[tex]PQ^2=x^2+y^2-xy[/tex]
Отделяме точен квадрат
[tex]PQ^2=x^2+y^2-xy=\underbrace{x^2+y^2-2xy}+2xy-xy[/tex]
[tex]PQ^2=\underbrace{(x-y)^2}+xy\ge xy[/tex]
(- понеже [tex](x-y)^2\ge 0 \,\ ({\ast})[/tex] )
Получихме, че
[tex]PQ^2\ge xy[/tex]
Следователно [tex]PQ^2\ge \frac{a^2}{2}[/tex]
[tex]PQ\ge \frac{a}{\sqrt{2}}[/tex]
Най-малката такава отсечка се получава когато [tex]x=y=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex] - виж [tex]({\ast})[/tex]
и тя явно е по-къса от медианата [tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex].

[pal702004]

Нека отсечката е $MN,\quad M \in AC,\quad N \in BC$
Нека триъгълника има страна 1, за да не го влачиш това $a$ навсякъде.
Нека $CM=x$. Тогава $CN=\frac{1}{2x}$ (Това е вярно и в случая, когато $x=1$, тоест, когато M съвпада с A и CM е медиана към BC)
Тогава $MN^2=(x-\frac{1}{2x})^2+\frac 1 2$ и не е чудно, че минимума е при $x=\frac{1}{2x}$, тоест, когато $\triangle MNC$ също е равностранен със страна $\frac{\sqrt 2}{2}$

т Knowledge Greedy ме е изпреварил