Геометрична задача 28

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.

[emil3993]

?

[darinalazarova73]

Означаваме т.Н,т.R-среди на АВ и CD,AO=BO=2х,CO=DO=2у .
В тр-к АВО ВМ се явява и височина и медиана [tex]\Rightarrow[/tex]тр-к АВО е равнобедрен АВ=ОВ .
От равноб.трапец[tex]\Rightarrow[/tex] АО=ОВ ,тогава тр-к АВО е равностранен и
[tex]\angle[/tex]АОВ=[tex]\angle[/tex]COD=60[tex]^\circ[/tex],височината ВМ=[tex]\frac{1}{2}[/tex]2х[tex]\sqrt{3}[/tex]=[tex]\sqrt{3}[/tex]х
тр-к ВМС е правоъг. [tex]МВ^{2}[/tex]+[tex]МС^{2}[/tex]=[tex]ВС^{2}[/tex]
3[tex]x^{2}[/tex]+[tex](х+2у)^{2}[/tex]=[tex]10^{2}[/tex] ...
[tex]x^{2}[/tex]+ху+[tex]у^{2}[/tex]=25 (1)
Разглеждаме тр-к МНР [tex]\angle[/tex]МНР=[tex]\angle[/tex]МОВ=60[tex]^\circ[/tex](с взаимноуспоредни рамене)
средна отс. МН=[tex]\frac{2х}{2}[/tex]=х ,средна отс.НР=[tex]\frac{2х+2у}{2}[/tex]=х+у
от cos T[tex]\Rightarrow[/tex][tex]МР^{2}[/tex]=[tex]МН^{2}[/tex]+[tex]НР^{2}[/tex]-2МН.НР.cos60[tex]^\circ[/tex] ...
[tex]МР^{2}[/tex]=[tex]x^{2}[/tex]+ху+[tex]у^{2}[/tex] от(1)[tex]\Rightarrow[/tex]МР=5
По същия начин работим и в тр-к NPR ,получаваме NP=5 .
MN e средна отс. в тр-к AOD[tex]\Rightarrow[/tex]MN=[tex]\frac{AD}{2}[/tex]=[tex]\frac{BC}{2}[/tex]=5
тр-к MPN е равностранен и P[tex]\Delta[/tex]=3.5=15

[emil3993]

Благодаря.