Бонус геометрична задача 6

[emil3993]

Здравейте математици! Може ли решението? Благодаря предварително.

[KOPMOPAH]

Като се пуснат перпендикуляри от т.$O$ към страните, не е трудно да се види, че защрихованата част на квадрата е $\frac 14$, следователно останалата незащрихована част е $\frac 34$

[emil3993]

Не разбирам.

[KOPMOPAH]

Не мога да направя чертеж, та ще се опитам да преразказвам по картинка.
Първо, ако страните на квадратите са успоредни, очевидно общата им част е $\frac 14 a^2$.
Второ, ако си представим, че вторият квадрат се върти около т. $O$, докато страните му съвпаднат с диагоналите на $ABCD$, то пак общата част е $\frac 14 a^2$.
Това вече ни навежда на мисълта, че май при произволно завъртане общата част е $\frac 14 a^2$. За отговора на теста това е достатъчно, а строгото доказателство се получава, като се пуснат перпендикулярите към двете страни, които се пресичат от "въртящия се" квадрат. Получават се два еднакви правоъгълни триъгълника, като лицето на единия участва във въпросната една четвърт, а другия - не

[KOPMOPAH]

Пояснение към по-горе - зелените триъгълници $\triangle OPQ$ и $\triangle ORS$ са еднакви.

Два квадрата.png (12.12 KiB) Прегледано 183 пъти

[emil3993]

Благодаря.