Задача от примерна тема на СУ

[mlazarov]

Здравейте, как може да се реши следната задача:
Нека a,b,c са реални числа и [tex]f(x)=x^{2} + ax + b[/tex]. Ако уравнението f(x)=0 има два различни реални корена, а уравнението [tex](x^{2}-2x+c)^{2} + a(x^{2}-2x+c) + b = 0[/tex] няма реални корени, да се докаже, че f(c)>1.

[Davids]

И аз проявявам пресен интерес към решението

[monika_at]

Да положим [tex]x^2-2x+c=t[/tex]и да видим как се изменя [tex]t[/tex]. Понеже това е квадратен тричлен, той ще достигне НМС за [tex]x_m=1=>y_m=c-1=> t\ge c-1[/tex]. Тогава от условието уравнението [tex]f(t)=0[/tex] има корени [tex]t_1; t_2[/tex]. Да се върнем в полагането. [tex]x^2-2x+c=t_1; x^2-2x+c=t_2[/tex]. От условието => тези две уравнения нямат решение, т.е.[tex]t_1<c-1; t_2<c-1[/tex].

[tex]f(t)=(t-t_1)(t-t_2)=> f(c)=(c-t_1)(c-t_2)>(c-c+1)(c-c+1)=1[/tex]